Teorema de la dimensión de la fibra para esquemas de dimensión infinita

Question

Para las variedades $X,Y$ sobre un campo algebraicamente cerrado, y un morfismo suryectivo $f:X\rightarrow Y$ , $\dim f^{-1}(y)\geq\dim X-\dim Y$ para todo cerrado $y\in Y$ y $\dim f^{-1}(y)=\dim X-\dim Y$ para todo cerrado $y$ en un subconjunto abierto no vacío de $Y$ . Si el requisito de que $X$ y $Y$ son de tipo finito, y sólo requerimos que sean esquemas integrales, separados, noetherianos sobre un campo algebraicamente cerrado, hay dos maneras que puedo ver para interpretar esta afirmación:

(1) $\dim f^{-1}(y)\#\dim Y\geq\dim X$ para todo cerrado $y\in Y$ y $\dim f^{-1}(y)\#\dim Y=\dim X$ para todo cerrado $y$ en un subconjunto abierto no vacío de $Y$ donde $\dim$ se refiere a la dimensión ordinal de Krull, y $\#$ es la suma natural ( $\alpha\#\beta$ es el mayor ordinal que se puede alcanzar intercalando $\alpha$ y $\beta$ ).

(2) $\text{codim}(f^{-1}(y)\text{ in }X)\geq\dim Y$ para todo cerrado $y\in Y$ y $\text{codim}(f^{-1}(y)\text{ in }X)=\dim Y$ para todo cerrado $y$ en un subconjunto abierto no vacío de $Y$ donde $\text{codim}(Z\text{ in }X)$ se refiere al sumo de los tipos de orden de las cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles de $X$ que contiene $Z$ .

Estas dos afirmaciones no son claramente equivalentes en el entorno de dimensión infinita. ¿Son ciertas alguna de ellas o ambas?

Edición: Friedrich Knop ha demostrado que (1) es falsa, pero su contraejemplo me ha convencido de que no hice la pregunta que pretendía. Sigo interesado en saber si es cierto cuando $f$ envía conjuntos construibles a conjuntos construibles, si es cierto cuando existe un esquema integral, separado, noetheriano $Z$ tal que $X\subseteq Z^{n+m}$ es construible y $f$ es el mapa de proyección $X\rightarrow Y\subseteq Z^n$ y si este ejemplo implica la condición de que $f$ envía conjuntos construibles a conjuntos construibles.

Answer 1

(1) es errónea en esta generalidad ya que las dimensiones de las fibras pueden ser diferentes en subconjuntos densos. Veamos, por ejemplo $R:=\mathbb C[x]$ y $S$ la localización de $R$ en $E$ donde $E$ es el subconjunto cerrado multiplicativo de todos los polinomios que no tienen un cero en $\mathbb Q$ . Ponga $X=\text{Spec }S$ y $Y=\text{Spec }R$ . Entonces $X$ es igual a $Y$ con todos los puntos cerrados irracionales eliminados. Así que $\dim X=\dim Y=1$ . La preimagen de un punto cerrado $y\in Y$ es un punto si $y\in\mathbb Q$ ( $\Rightarrow\dim f^{-1}(y)=0$ ) o vacío ( $\Rightarrow\dim f^{-1}(y)=-1$ ).

Si no te gustan las fibras vacías, entonces toma por $S$ la localización $R[y]_F=\mathbb C[x,y]_F$ donde $F$ es el conjunto de polinomios $p(x,y)$ que son (i) mónicas como un polinomio en $y$ y (ii) el término constante $p(x,0)$ no tiene ningún cero racional. Entonces los puntos en $\mathbb Q\times\{0\}$ sobrevivir, así que $\dim S=1$ . Pero $\dim f^{-1}(y)$ es $1$ o $0$ en función de $y\in\mathbb Q$ o no.

(2) tiene muchas más probabilidades de ser cierta, ya que para $Y=\mathbb C[x]$ esto es sólo Hauptidealsatz de Krull.