Ecuación diferencial y sustitución.

Question

Si la raíz cuadrada de sustitución de $x = \sin y$ se realiza en el $\int^0_{0.5}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx$ ¿cuál es la integral resultante?

Answer 1

Lo haré $0$ a $\frac{1}{2}$ es decir, $\displaystyle \int_0^{0.5}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx$ .

En primer lugar, como $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$ es continua en $(0,\frac{1}{2})$ se deduce que esta integral no es inadecuada.

Ahora, sustituye $1-x =u^2$ entonces $x=1-u^2$ y $dx=-2udu$ .

Cálculo de la integral indefinida $$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx=-2\int \frac{\sqrt{1-u^2}\cdot u}{u}du =-2\int \sqrt{1-u^2} du =(*).$$

Ahora, haz $$\sin t=\sqrt{1-u^2} \text{ and } \cos t=u,$$ entonces $du=-\sin t dt$ y así $$(*)=-2\int \sin t(-\sin t)dt=2\int \sin^2t dt=2\int \frac{1-\cos 2t}{2}dt= $$ $$=\int dt -\int \cos 2t dt=t-\frac{1}{2}\sin 2t+c=t-\sin t\cos t +c= $$ $$=\arccos u-u\sqrt{1-u^2}+c=\arccos\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}\cdot\sqrt{x}+c. $$

Por último,

$$\int_0^{\frac{1}{2}}g(x)dx= \left.(\arccos\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}\cdot\sqrt{x})\right|_0^{\frac{1}{2}}= $$ $$=\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}-\left( \arccos 1-0\right) =\frac{\pi-2}{4}.$$