Existencia de un levantamiento para un recubrimiento simplemente conectado.

Question

Quiero demostrar la siguiente afirmación:

Sea $X$ sea un espacio conectado por trayectorias, $p: E \to Y$ sea un mapa de cobertura, y $f: X \to Y $ sea continua.

Si $E$ es simplemente conexa, y la imagen de $f_{*}(\pi_1(X))$ es no trivial, entonces $\nexists$ un levantamiento $F : X \to E$ tal que $p \circ F = f$

¿Debo demostrarlo por contradicción? ¿Hay algún teorema que pueda aplicar?

Answer 1

Sea $F:X \to E$ sea una elevación de $f: X \to Y$ a lo largo de $p : E \to Y$ . El mapa inducido sobre grupos fundamentales da $f_* = p_* \circ F_* : \pi_1(X) \to \pi_1(E) \to \pi_1(Y)$ . Pero $\pi_1(E)=0$ por suposición así $f_*$ debe tener una imagen trivial, contradicción.