Teoría K algebraica del anillo del grupo fundamental

Question

Conozco dos lugares donde $K_{*}(\mathbb{Z}\pi_{1}(X))$ (la algebraica $K$ -teoría del anillo de grupo del grupo fundamental) hace su aparición en la topología algebraica.

El primero es el obstáculo de la finitud del muro. Decimos que un espacio $X$ está finitamente dominada si $id_{X}$ es homotópico a un mapa $X \rightarrow X$ que factoriza a través de un complejo CW finito $K$ . La obstrucción de finitud de Wall de un espacio finitamente dominado $X$ es un elemento de $\tilde{K_{0}}(\mathbb{Z}\pi_{1}(X)) $ que desaparece si $X$ es en realidad homotópicamente equivalente a un complejo CW finito.

La segunda es la torsión de Whitehead $\tau(W,M)$ que vive en un cociente de $K_{1}(\mathbb{Z}\pi_{1}(W))$ . Según el teorema del s-cobordismo, si $(W; M, M')$ es un cobordismo con $H_{*}(W, M) = 0$ entonces $W$ es difeomorfo a $M \times [0, 1]$ si y sólo si la torsión de Whitehead $\tau(W, M)$ desaparece.

Para más detalles, consulte lo siguiente:

http://arxiv.org/abs/math/0008070 (Un estudio de la obstrucción a la finitud de Wall)

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/libros/cirugia.pdf (Cirugía algebraica y geométrica. Ver cap. 8 sobre la torsión de Whitehead)

Mi pregunta es doble.

En primer lugar, ¿existe una defensa de alto concepto de $K_{*}(\mathbb{Z}\pi_{1}(X))$ como un lugar razonable para que aparezcan obstrucciones a los problemas topológicos? Me doy cuenta de que $\mathbb{Z}\pi_{1}(X)$ aparece porque el (celular, si $X$ es un complejo de células) grupos en cadena de la cubierta universal $\tilde{X}$ son módulos sobre $\mathbb{Z}\pi_{1}(X)$ . ¿Es cierto que cuando se trabaja con complejos de cadenas de $R$ -esperamos que aparezcan obstrucciones en $K_{*}(R)$ ?

En segundo lugar, ¿existe una explicación esclarecedora de la similitud formal entre estas dos obstrucciones? (Ambas aparecen al considerar el complejo de cadena celular de una cubierta universal y tomar una suma alterna).

Answer 1

Para añadir a la excelente respuesta de Tim Porter:

La historia de lo que ahora llamamos $K_1$ de anillos comienza con el trabajo de Whitehead sobre la equivalencia homotópica simple, que utiliza lo que ahora llamamos el grupo Whitehead, un cociente de $K_1$ del anillo del grupo fundamental de un espacio.

Por otra parte, la historia de $K_0$ de anillos comienza probablemente con el trabajo de Grothendieck sobre Riemann-Roch generalizado. Lo que hizo con haces vectoriales algebraicos resultó ser muy útil para hacer con otros tipos de haces vectoriales, y con módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo, y con algunos otros tipos de módulos.

No sé quién fue el que reconoció que estas dos construcciones merecían llamarse $K_0$ y $K_1$ y vistos como dos partes de algo más grande que se llamará algebraico $K$ -teoría. Pero Milnor dio la definición correcta de $K_2$ y Quillen y otros dieron varias definiciones correctas equivalentes de $K_n$ .

Permítanme intentar exponer los paralelismos entre los significados topológicos del cociente de Whitehead de $K_1(\mathbb ZG)$ y el cociente de Wall de $K_0(\mathbb ZG)$ . Mi punto principal es que ambos tienen su utilidad tanto en la teoría de los complejos celulares como en la teoría de los múltiples.

El grupo Whitehead de $G$ es un cociente de $K_1(\mathbb ZG)$ . Su importancia para los complejos celulares es que detecta lo que podríamos llamar equivalencias de homotopía no evidentes entre complejos celulares finitos. Una forma obvia de exhibir una equivalencia de homotopía entre complejos finitos $K$ y $L$ es conectar un disco $D^n$ a $K$ a lo largo de la mitad de su esfera límite y obtener $L$ . A grandes rasgos, una equivalencia homotópica entre complejos finitos se denomina simple si es homotópica a otra que pueda crearse mediante una secuencia finita de tales operaciones. El gran teorema es que una equivalencia homotópica $h:K\to L$ entre complejos finitos determina un elemento (la torsión) del grupo Whitehead de $\pi_1(K)$ que es $0$ sólo si $h$ es simple, y que para cualquier $K$ y cualquier elemento de su grupo Whitehead existe un $(L,h:K\to L)$ único hasta equivalencia homotópica simple, que conduce a este elemento de esta manera, y que este invariante de $h$ tiene varias propiedades formales que facilitan su cálculo.

Una razón por la que te puede interesar la noción de equivalencia homotópica simple es que para los complejos simpliciales es invariante bajo subdivisión, de modo que uno puede preguntarse si $h$ es sencillo aunque $K$ y $L$ son simplemente espacios lineales a trozos, sin triangulaciones preferidas. Esto significa que, por ejemplo, una equivalencia homotópica entre variedades PL compactas (o suaves) no puede ser homotópica a un homeomorfismo PL (o suave) si su torsión no es trivial. (Más tarde, la invariancia topológica de la torsión de Whitehead permitió eliminar el "PL" y el "liso" en todo esto, extendiendo estas herramientas a, por ejemplo, variedades topológicas sin utilizar triangulaciones).

Pero el $h$ -El teorema del cobordismo dice más: aplica el invariante de Whitehead a las variedades de un modo diferente y más profundo.

Mientras tanto, en el $K_0$ side Wall introdujo su invariante para detectar si podía existir un complejo finito en un tipo de homotopía dado. Obsérvese que donde $K_0$ se ocupa de la existencia de un representante finito para un tipo de homotopía, $K_1$ se refiere a la (no) unicidad de la misma.

Siebenmann en su tesis aplicó el invariante de Wall a una cuestión de colectores de una forma que se corresponde muy estrechamente con el $h$ -historia de cobordismo: La pregunta era, básicamente, ¿cuándo puede una determinada variedad no compacta ser el interior de una variedad compacta con límite? Obsérvese que esta cuestión de existencia va acompañada de una cuestión de unicidad: Si dos variedades compactas $M$ y $M'$ tienen interiores isomórficos entonces esto conduce a una $h$ -cobordismo entre sus límites, que será un cobordismo producto si $M$ y $M'$ son realmente lo mismo.

Se puede seguir: La cuestión de si un determinado $h$ -admite una estructura de producto plantea la cuestión conexa de la unicidad de dicha estructura, que en realidad es la cuestión de si un difeomorfismo de $M\times I$ a sí mismo es isotópico a uno de la forma $f\times 1_I$ . Este es el comienzo de la teoría de la pseodoisotopía, y sí $K_2$ entra en juego.

Pero de aquí en adelante, cuanto más alto Quillen $K$ -teoría del anillo de grupo $\mathbb Z\pi_1(M)$ no es la mejor herramienta. En su lugar necesita el Waldhausen $K$ -teoría del espacio $M$ en el que básicamente $\mathbb Z$ se sustituye por el espectro esférico y $\pi_1(M)$ se sustituye por el espacio de bucle $\Omega M$ . Es una larga historia.

Answer 2

En primer lugar una pequeña puntualización: el grupo Whitehead es el origen de la teoría K algebraica, y es bastante anterior al material general, por lo que su formulación no es del todo justa para Whitehead.

Sobre tu primera pregunta, una dirección a la que mirar es la teoría K de Waldhausen. (Merece la pena estudiar el artículo original, pero también deberías echar un vistazo al material más reciente relacionado con las conexiones entre ésta y las categorías de modelos). Waldhausen tiene una sección sobre los vínculos entre sus grupos y la teoría de la homotopía simple de Whitehead. (Puedo proporcionarte algunas referencias si las necesitas. Hay algunos comentarios útiles en el nLab si buscas "Waldhausen").

Para la segunda pregunta, probablemente sea una buena idea echar un vistazo a algunos libros sobre Teoría de la Homotopía Simple y adoptar una perspectiva ligeramente histórica, (también echar un vistazo a los artículos originales, no sólo a las encuestas). Los artículos de Whitehead y luego de Milnor dieron a conocer un conjunto de herramientas para estudiar los complejos CW finitos. El papel de las cadenas en la cubierta universal puede verse de varias maneras, pero ambas construcciones forman parte de la idea general de la época de hacer la teoría de la homotopía más "constructiva" y la domesticación de la acción del grupo fundamental en casos no abelianos fue un primer paso.

Los orígenes de la teoría de la homotopía simple se remontan a antes de la Segunda Guerra Mundial, con Riedemeister, y hay que tener en cuenta que el artículo en dos partes de Whitehead de 1949 se titulaba "Teoría de la homotopía combinatoria" y pretendía reflejar la "Teoría de los grupos combinatorios".

Esto no aclara las "razones" de la similitud, pero puede ayudarle a conocer los orígenes de esas cosas y, a veces, eso ayuda a ver qué callejones se han dejado sin explorar y a tener una visión general de la zona. Tengo la remota idea de que existe una teoría K para los 2 tipos de homotopía (y más allá) y que la construcción de Waldhausen es una forma de entrar en ella, pero puede que me equivoque.

En otro orden de cosas, eche un vistazo al artículo de Kapranov y Saito:

Hidden Stasheff polytopes in algebraic K-theory and in the space of Morse functions , en Higher homotopy structure in topology and mathematical physics (Poughkeepsie, N.Y. 1996) , volumen 227 de Contemporary Mathematics , 191-225

Esto vincula el grupo de Steinberg (que tiene una clara motivación del álgebra lineal) con una gran cantidad de álgebra homotópica y homológica. No voy a decir más sobre esto porque ya se está haciendo un poco largo, pero pregunte si encuentra estas referencias útiles pero necesita más indicaciones.