$x_n=f\left(\frac{1}{n^2}\right)+f\left(\frac{2}{n^2}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n^2}\right)$ , $\lim_{n\to\infty}x_n=\dfrac{f'(0)}{2}$

Question

Sea $f(x)$ sea una función y $f(0)=0$ , $f'(0)$ existe. Sea $$x_n=f\left(\frac{1}{n^2}\right)+f\left(\frac{2}{n^2}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n^2}\right).$$ Demostrar que $\lim_{n\to\infty}x_n=\dfrac{f'(0)}{2}$ .

La solución viene dada por: Puesto que $f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ tenemos que $$f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)=f'(0)x+o(x).$$ En $n\to+\infty$ tenemos que $$f\left(\frac{1}{n^2}\right)=\frac{f'(0)}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)= \frac{f'(0)}{n^2}+o\left(\frac{1}{n}\right),\quad f\left(\frac{2}{n^2}\right)=\frac{2f'(0)}{n^2}+o\left(\frac{2}{n^2}\right)=\frac{2f'(0)}{n^2}+o\left(\frac{1}{n}\right)$$ $$f\left(\frac{k}{n^2}\right)=\frac{kf'(0)}{n^2}+o\left(\frac{k}{n^2}\right)= \frac{kf'(0)}{n^2}+o\left(\frac{1}{n}\right),\dots$$ Por lo tanto $$x_n=f'(0)\cdot\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}+n\cdot o\left(\frac{1}{n}\right)=f'(0)\cdot\frac{n+1}{2n}+o(1),$$ entonces $$\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{f'(0)}{2}.$$

Tengo una pregunta: en los pasos anteriores, $o\left(\frac{1}{n}\right)$ son diferentes, ¿podemos hacer esto $n\cdot o\left(\frac{1}{n}\right)=o(1)$ .

Una pregunta más precisa es: supongamos que existe una secuencia bidimensional $\{x_{nm}\}_{n,m\in\mathbb{N}}$ y para un $m$ siempre habrá $\lim_{n\to\infty}x_{nm}=0$ ¿es correcto que $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n1}+x_{n2}+\cdots+x_{nn}}{n}=0 ?$$ La intención original de esta pregunta es que utilicemos la conclusión $n\cdot o(1/n)=o(1)$ en las respuestas a las preguntas anteriores. Dado que estas $o(1/n)$ son diferentes, ajuste a $$\alpha_{n1},\alpha_{n2},\dots,\alpha_{nn},\quad \alpha_{nk}=o(1/n),\quad 1\leq k\leq n.$$ que es $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\alpha_{nk}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}n\alpha_{nk}=0,\quad 1\leq k\leq n.$$ Es el límite de la suma de $\alpha_{n1},\alpha_{n2},\dots,\alpha_{nn}$ es también $0$ ? Es decir, si hay $$\lim_{n\to\infty}(\alpha_{n1}+\alpha_{n2}+\cdots+\alpha_{nn})= \lim_{n\to\infty}\frac{n\alpha_{n1}+n\alpha_{n2}+\cdots+n\alpha_{nn}}{n}\stackrel{?}=0.$$ Esta es la solución:

Esta es la $\epsilon$ - $\delta$ solución dada por mi profesor, aquí asumimos $f'(0)=1$

Answer 1

Aquí está el $\varepsilon$ versión básicamente dada por tu profesor aunque yo la he racionalizado un poco (al menos en mi mente). Proporciono esto para propósitos futuros en caso de que la imagen original se borra o alguien busca el Tex específico.

Sea $\varepsilon>0$ se dará. En Teorema de Taylor existe una función $h(x)$ tal que

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+h(x)x=f'(0)x+h(x)x$$

y

$$\lim_{x\to 0}h(x)=0$$

Sea $N_1\in\mathbb{N}$ sea tal que $|h(x)|\leq \frac{\varepsilon}{2}$ siempre que $|x|\leq \frac{1}{N_1}$ y que $N_2\in\mathbb{N}$ viene dada por

$$N_2=\left\lceil\frac{|f'(0)|}{\varepsilon}\right\rceil$$

Defina $N=\max\{N_1,N_2\}$ . Entonces para $n\geq N$ tenemos

$$\begin{align}\left|x_n-\frac{f'(0)}{2}\right|&=\left|\sum_{i=1}^nf\left(\frac{i}{n^2}\right)-\frac{f'(0)}{2}\right|\\&=\left|f'(0)\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2}+\sum_{i=1}^nh\left(\frac{i}{n^2}\right)\frac{i}{n^2}-\frac{f'(0)}{2}\right|\\&=\left|\frac{f'(0)}{2}+\frac{f'(0)}{2n}+\sum_{i=1}^nh\left(\frac{i}{n^2}\right)\frac{i}{n^2}-\frac{f'(0)}{2}\right|\\&\leq\left|\frac{f'(0)}{2n}\right|+\left|\sum_{i=1}^nh\left(\frac{i}{n^2}\right)\frac{i}{n^2}\right|\end{align}$$

A continuación, utilizando nuestra definición de $N$ tenemos

$$\leq\frac{\varepsilon}{2}+\left|\sum_{i=1}^n\frac{\varepsilon}{2}\frac{i}{n^2}\right|=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n^2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\sum_{i=1}^n\frac{n}{n^2}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

y la reclamación queda demostrada.