He estado viendo ejemplos que demuestran que el conjunto de todos los racionales tiene medida de Lebesgue cero. En los ejemplos, siempre cubren los racionales utilizando un número infinito de intervalos abiertos, y luego calculan la suma infinita de todas sus longitudes como suma de una serie geométrica. Por ejemplo, ver esta prueba .
Sin embargo, me preguntaba si podría definir simplemente un intervalo $(q_n - \epsilon, q_n + \epsilon )$ alrededor de cada número racional $q_n$ . Dado que existe un número contable de tales intervalos, la medida de Lebesgue debe estar limitada por encima por una suma contable de su medida de Lebesgue (subadditividad), es decir. $\mu(\mathbb{Q}) \leq \mu(\bigcup^{\infty}_{i=1} (q_n - \epsilon, q_n + \epsilon)) = \sum^{\infty}_{i=1} \mu((q_n - \epsilon, q_n + \epsilon))$ .
Entonces, argumenta que cada término individual es $\mu((q_n - \epsilon, q_n + \epsilon)) < 2\epsilon$ y por lo tanto es cero ya que el épsilon es arbitrario?
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En primer lugar, el signo menos que debe sustituirse por un signo igual. $\:$ En segundo lugar, sólo se obtiene "cada término individual" se acerca a cero. $\;\;\;$
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Su medida es contablemente aditiva. Los puntos tienen medida cero, y $\Bbb Q$ es contable.
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Usar la aditividad contable de la medida de Lebesgue no parece estar en el espíritu del problema, o de las pruebas de ejemplo dadas. De hecho, el planteamiento original funciona, con ligeras modificaciones. Nótese que nos encontramos con el problema de que $\sum_{n=1}^\infty 2\epsilon =\infty$ . Necesitamos una suma convergente. La solución se presenta claramente: basta con tomar los intervalos como $(q_n-\epsilon_n, q_n+\epsilon_n)$ donde $\epsilon_n=\epsilon\cdot 2^{-n}$ . Entonces $\sum_{n=1}^\infty \epsilon 2^{-n}=4\epsilon$ que ahora pasa a $0$ con $\epsilon$ .