En realidad, para las tramas simpliciales, y para ser más exactos para las tramas infinitas de infinitos grupoides, no se necesitan hipercubiertas. Tu idea "ingenua" de las intersecciones múltiples (en realidad, productos fibrados) es correcta. Si en lugar de eso utilizas hipercubiertas, obtienes la noción de *hiper*granero. Tanto las gavillas infinitas como los hipereslabones forman un topos infinito, y el topos infinito de los hipereslabones es una localización exacta a la izquierda del topos infinito de las gavillas infinitas. PODRÍAN ser lo mismo, pero esto depende de su localización de Grothendieck. Son lo mismo si y sólo si el topos infinito de las láminas infinitas satisface internamente el teorema de Whitehead con respecto a las láminas de homotopía interna; para cualquier lámina infinita $X$ en $\mathcal{C}$ se tienen las láminas $\pi_n(X) \in Sh_{\infty}\left(C\right)/X$ (en realidad es un objeto discreto del mismo) análogo a los grupos de homotopía de espacios. El topos infinito de las láminas infinitas es hipercompleto si y sólo si cualquier morfismo $g:X \to Y$ que induce un isomorfismo en $\pi_n$ para todos $n$ debe ser una equivalencia. Si cualquier topos infinito arbitrario no es hipercompleto, podemos hipercompletarlo localizando con respecto a aquellos morfismos que inducen isomorfismos en todas las láminas de homotopía, y esto es de nuevo un topos infinito, llamado su hipercompleción. Así que la afirmación más precisa es que para un topos infinito de infinitas láminas sobre un sitio $\mathcal{C}$ su hipercompleción puede identificarse con el topos infinito de los hipereslabones.
Hay que tener en cuenta que un topos infinito se define como una localización exacta izquierda (accesible) de una categoría infinita de preeslabones infinitos sobre alguna categoría infinita, y que esto NO implica que seas el topos infinito de las láminas infinitas sobre algún sitio, en el caso infinito; el topos infinito de los hipereslabones sobre algún sitio no tiene por qué ser equivalente a las láminas infinitas ordinarias sobre cualquier sitio.
Ahora a responder a la pregunta en los comentarios de abajo:
¿Por qué necesitamos el diagrama de Cech simplicial completo para las láminas infinitas?
Bueno, volvamos primero a las gavillas ordinarias de conjuntos. En realidad, una topología de Grothendieck debería definirse en términos de cobertura tamices no en términos de cobertura de las familias. Lo que la mayoría de la gente llama una topología de Grothendieck es en realidad una base para una topología de Grothendieck. Un tamiz sobre un objeto $C$ de $\mathcal{C}$ es un subobjeto $S$ de la preforma representable $y\left(C\right)$ en la categoría $Set^{\mathcal{C}^{op}}$ . Si se nos da una base para una topología de Grothendieck, y una cubierta $\mathcal{U}:=\left(f:U_\alpha \to C\right)$ de $C,$ entonces podemos considerar el tamiz $S_\mathcal{U}$ para ser el subobjeto que asigna un objeto $D$ los morfismos $D \to C$ cuyo factor a través de algunos $f_\alpha$ . Un tamiz $R$ es un llamado tamiz de recubrimiento si hay alguna cobertura $V$ tal que $S_V \subset R$ . Ahora una prehoja $F$ se dice que es un gavilla si para cualquier tamiz de cobertura $R \subset y(C),$ el mapa inducido $$F(C) \cong Hom(y(C),F) \to Hom(R,F)$$ es un isomorfismo. Se puede comprobar que esto es equivalente a exigir esta condición en tamices de la forma $S_\mathcal{U}$ para cubrirse. Pero.., $S_\mathcal{U}$ puede describirse como el colímite del diagrama $$\coprod\limits_{\alpha,\beta}{y\left(U_\alpha \times_C U_\beta\right)}\rightrightarrows \coprod\limits_{\alpha}{y\left(U_\alpha\right)}$$ en presheaves (se puede comprobar fácilmente calculando esto "objeto-sabio"). Pero esto significa que $$Hom(S_\mathcal{U},F) \cong \varprojlim \left(\prod \limits_{\alpha}{Hom(y\left(U_\alpha\right),F)} \rightrightarrows \prod\limits_{\alpha,\beta}{Hom(y\left(U_\alpha \times_C U_\beta\right),F)}\right).$$ Después de Yoneda, esto recupera la definición ordinaria de gavilla con coberturas.
Pero ahora se puede decir simplemente que una gavilla infinita es una pre gavilla infinita $F$ de infinitos groupoides tal que para cualquier tamiz de cobertura $R \subset y(C),$ el mapa inducido $$F(C) \simeq Hom(y(C),F) \to Hom(R,F)$$ es un equivalencia de infinitos groupoides (es decir, una equivalencia homotópica débil de conjuntos simpliciales). De nuevo, basta con comprobar esta condición para tamices de la forma $S_\mathcal{U}$ . Consideremos ahora el colímite infinito (es decir, el colímite de homotopía) del diagrama de Cech procedente de $\mathcal{U}$ . Llámalo $S'$ . Podemos calcular su truncamiento 0 $S'_0$ y dado que este functor es adjunto por la izquierda a la inclusión de pretramas ordinarias, la unidad de la adjunción nos proporciona un mapa $l:S' \to S'_0$ . Pero como es un conjunto a la izquierda, preserva los colímitos, por lo que es igual al colímite del mismo diagrama en los presheaves ordinarios. Pero, el diagrama de "2 etapas" es cofinal en este caso, así que recuperamos $S_\mathcal{U}$ . Pero, las fibras homotópicas de $l:S' \to S'_0=S_\mathcal{U}$ son discretos, lo que significa que $l$ es a la vez 0-conectado y 0-truncado, por lo tanto una equivalencia. Pero esto significa que $S_\mathcal{U}$ es el colímite homotópico de todo el diagrama simplicial, cuando lo consideramos como un objeto en presheaves infinito. Esto en términos nos dice que $Hom(S_\mathcal{U},F)$ es una homotopía límite de un diagrama cosimplicial, y envocando el lema del infinito de Yoneda, obtenemos que este diagrama es equivalente al que implica aplicar $F$ a productos fibrosos iterativos.
