Un círculo en el plano

Question

Posible duplicado:
¿Ecuación paramétrica de un círculo en el espacio tridimensional?

Sé que, por ejemplo, si un círculo está en un plano con orientación contraria a las agujas del reloj, y con centro $(a,b)$ y radio $R$ tiene parametrización

$$r(t)=(a + R \cos{t};b + R \sin{t}) \quad 0 \leq t \leq 2\pi$$

y con orientación horaria

$$r(t)=(a + R \sin{t},b + R \cos{t}).$$

Además, conozco formas de parametrización del círculo si se encuentra en el plano horizontal $z=c$ y centro $O(a,b,c)$ o si se encuentra en el plano $x=c$ Sé cómo parametrizar el círculo en este caso. Estoy interesado en lo que sucede si el círculo no se encuentra en ningún plano paralelo a los planos de coordenadas?

Answer 1

Sea $\mathbf{u},\mathbf{v}$ dos vectores ortonormales cualesquiera en $\mathbb{R}^n$ , dejemos que $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ y que $R > 0$ sea un número real positivo. Entonces el círculo de radio $R$ con centro $\mathbf{a}$ tendido en el plano a través de $\mathbf{a}$ que es paralelo a $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ viene dado por

$$\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + (R\cos t)\mathbf{u} + (R\sin t)\mathbf{v}$$

donde $\mathbf{r}(t)$ denota el lugar geométrico de los puntos del círculo.

Así que dado un plano $\Pi \subseteq \mathbb{R}^3$ calcula $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ y sustitúyelo por lo anterior.

Answer 2

(Clive me ganó por unos minutos, pero de todos modos dejo aquí mi respuesta, ya que aborda aspectos no tratados por Clive).

Asuma su círculo $\gamma$ tiene centro ${\bf p}\in{\mathbb R}^3$ . El avión $\Pi$ en el que se encuentra el círculo tiene que darse de alguna manera. Si el plano se da en la forma ${\bf n}\cdot{\bf x}=\rho$ donde $\rho={\bf n}\cdot {\bf p}$ entonces tenemos que proveernos primero de dos vectores unitarios mutuamente ortogonales ${\bf e}_i$ que "abarcan $\Pi$ "o, para ser exactos, son ortogonales a ${\bf n}$ . El primero de estos vectores puede obtenerse normalizando el vector ${\bf e}_1':=(-n_2,n_1,0)$ (que es ortogonal a ${\bf n}$ ). Normalización significa sustituir el vector ${\bf e}_1'$ por el vector unitario $${\bf e}_1:={{\bf e}_1'\over\bigl|{\bf e}_1'\bigr|}$$ que apunta en la misma dirección. El segundo vector ${\bf e}_2$ se obtiene normalizando el vector ${\bf e}_2':={\bf n}\times{\bf e}_1$ .

Después de estos pasos preparatorios es fácil escribir una representación paramétrica de $\gamma$ : $$\gamma:\quad t\mapsto{\bf p}+R\cos(t){\bf e}_1+R\sin(t){\bf e}_2\qquad(0\leq t\leq 2\pi)\ .$$