Sea $P(z)=az^2+bz+c$ donde $a,b,c$ son números complejos. Demuestra que $a=0$ .

Question

Pregunta: Que $P(z)=az^2+bz+c$ donde $a,b,c$ son números complejos.

(a) Si $P(z)$ es real para todos los números reales $z$ demuestre que $a,b,c$ son números reales.

(b) Además de $(a)$ anterior, supongamos que $P(z)$ no es real siempre que $z$ no es real. Demuestra que $a=0$ .

Mi enfoque: Dado que $P(z)\in\mathbb{R}$ Siempre que $z\in\mathbb{R}$ .

Esto implica que $P(0)=c\in\mathbb{R}$ .

Esto implica también que $P(1)=a+b+c\in\mathbb{R}$ y $P(-1)=a-b+c\in\mathbb{R}$ lo que implica que $P(1)+P(-1)=2(a+c)\in\mathbb{R}\implies a+c\in\mathbb{R}\implies a\in\mathbb{R}.$

De nuevo tenemos $P(1)-P(-1)=2b\in\mathbb{R}\implies b\in\mathbb{R}.$

Por lo tanto, $a,b,c\in\mathbb{R}$ . Por lo tanto, hemos terminado con la parte $(a)$ del problema.

Para el $(b)$ parte estaba tratando de demostrar que $a=0$ sustituyendo $z=i$ y $z=-i$ en la identidad dada. Pero, no pude sacar nada significativo.

Pistas, por favor.

Answer 1

Si $a\ne0$ , $P$ es un cuadrático $\in\Bbb R[X]$ por lo que sus raíces son dos reales (posiblemente iguales) o un par complejo conjugado, pero (b) excluye esto último. Sea $p,q$ sean las raíces de $P(z)$ . Así que escribe $P(z)=a(z-p)(z-q)$ . Pero para $t\in\Bbb R$ y $t\neq 0$ , $$P((p+q)/2+ti)=-a((p-q)^2/4+t^2).$$