construir la fibración elíptica de la superficie elíptica k3

Question

Hola a todos,

Como sabemos, toda superficie elíptica k3 admite una fibración elíptica sobre $P^1$ pero, en general, ¿cómo construimos esta fibración? Por ejemplo, ¿cómo obtener dicha fibración para el cuártico de Fermat?

Además, como sabemos que todas las superficies (elípticas) k3 son diferencialmente equivalentes entre sí, ¿significa esto que topológicamente la fibración elíptica que obtenemos para cada fibra elíptica es la misma, que no es más que la fibración del toro sobre $S^2$ con singularidades de 24 nodos? O bien, el espacio total es el mismo, pero los diferentes datos complejos (estructura) proporciona diferente manera o "dirección" de la proyección sobre $S^2$ ¿induce, por tanto, distintos tipos de fibraciones?

Gracias.

Answer 1

Sea $S$ sea un proyectivo suave $K3$ superficie, digamos sobre los números complejos, y supongamos que $S$ admite una fibración (no constante) $\pi\colon S\to C$ sobre una curva $C$ .

Por la propiedad universal de la normalización, podemos suponer que $C$ es normal y, por tanto, lisa. Ahora, esta curva $C$ debe ser $\mathbb P^1$ ya que de otro modo tendríamos (por retroceso) alguna holomorfía global no trivial $1$ -formar en $S$ contradictorio $h^{1,0}(S)=0$ .

A continuación, esta fibración viene dada claramente por el sistema lineal $|\pi^*H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(1))|\subset |L|$ del retroceso $L:=\pi^*\mathcal O(1)$ que está atravesada por dos secciones independientes, a saber $\sigma$ y $\tau$ . Ahora, tomemos una fibra general: es una curva suave $F\subset S$ que es un divisor en el sistema lineal mencionado, de la forma $\{\lambda s+\mu t=0\}$ . En particular $\mathcal O_S(F)\simeq L$ . Además, por definición, $\mathcal O_F(F)\simeq L|_F=\pi^*\mathcal O(1)|_F$ que es trivial.

Por adjunción, $K_F\simeq (K_S\otimes\mathcal O_S(F))|_F\simeq\mathcal O_F$ es trivial, por lo que $F$ es una curva elíptica.

Por lo tanto, cualquier fibración de un proyectivo liso $K3$ es una fibración elíptica sobre $\mathbb P^1$ obtenido como se ha indicado anteriormente.

Consideremos ahora el caso más específico del cuártico de Fermat $S:\{x^4-y^4-z^4+t^4=0\}$ en $\mathbb P^3$ (es el cuártico de Fermat estándar hasta la multiplicación de $y$ y $z$ por un $4$ raíz de $-1$ ). Entonces, podemos factorizarlo de la siguiente manera $$ (x^2+y^2)(x^2-y^2)-(z^2+t^2)(z^2-t^2)=0. $$ Esto demuestra que, para $[\lambda:\mu]\in\mathbb P^1$ la intersección completa dada por $$ C_{[\lambda:\mu]}:=\begin{cases} \lambda(x^2-y^2)=\mu(z^2+t^2) \\ \mu(x^2+y^2)=\lambda(z^2-t^2) \end{cases} $$ se encuentra en $S$ . Para los genéricos $[\lambda:\mu]\in\mathbb P^1$ se trata de una curva elíptica suave, ya que su haz tangente se ajusta a la siguiente secuencia exacta corta $$ 0\to T_{C_{[\lambda:\mu]}}\to T_{\mathbb P^3}|_{C_{[\lambda:\mu]}}\to\mathcal O_{C_{[\lambda:\mu]}}(2)\oplus\mathcal O_{C_{[\lambda:\mu]}}(2)\to 0. $$ La función $[\lambda:\mu]$ define un mapa desde $S$ en $\mathbb P^1$ que es el lápiz elíptico en $S$ que estabas buscando.

Tenga en cuenta que, para $\lambda/\mu=0,\pm 1,\pm i,\infty$ , $C_{[\lambda:\mu]}$ degenera en un ciclo de cuatro líneas. Así se obtienen las 24 singularidades.

Answer 2

He aquí una forma alternativa de construir fibraciones elípticas de superficies cuárticas que contienen una recta.

Sea $X\subset \mathbb P^3$ sea una superficie cuártica lisa y supongamos que contiene una recta $L\subset X$ . Sea $\mathfrak d$ denotan el $1$ -sistema lineal de hiperplanos en $\mathbb P^3$ que contiene $L$ restringido a $X$ . Además $H\in \mathfrak d$ y $E=H-L$ .

Observe que $E^2=H^2-2H\cdot L L^2= 4 - 2\times 1 -2=0$ y que por construcción $\dim |E|\geq 1$ . Se deduce que para cualquier $E_1,E_2\in |E|$ , $E_1\cap E_2=\emptyset$ y por lo tanto $|E|$ no tiene base y $\dim |E|=1$ .

Por lo tanto $|E|$ define un morfismo $f: X\to \mathbb P^1$ y de la construcción se deduce que las fibras de $f$ son curvas planas cúbicas, por lo que se trata efectivamente de una fibración elíptica.

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Observación 1: Se pueden obtener más datos de esta construcción.

1. Como cada fibra es un plano cúbico, esta construcción limita bastante las posibles singularidades de las fibras.
2. La línea con la que empezamos es una sección triple.
3. Si $X$ contiene otra línea, por ejemplo $C$ tal que $C\cap L=\emptyset$ entonces $C$ da una sección de $f$ : En efecto, si $C$ es una línea, entonces $C\cdot H=1$ y si $C\cap L=\emptyset$ entonces $C\cdot E=1$ .
4. Si $X$ contiene otra línea, por ejemplo $C$ tal que $C\cap L\neq\emptyset$ entonces $C$ está contenida en una fibra que interseca $L$ exactamente una vez.
5. Puedes seguir jugando con esto para conseguir más.

Observación 2: Para una K3 elíptica el número de Picard es al menos $2$ y si es exactamente $2$ entonces admite a lo sumo dos fibraciones elípticas diferentes. Si el número de Picard es al menos $3$ entonces una K3 elíptica puede admitir infinitas fibraciones elípticas, así que obviamente en muchos casos no se obtienen todas las fibraciones elípticas de esta manera.

Observación 3: Por último, obsérvese que el cuártico de Fermat contiene rectas: Utilizando diverietti las 16 líneas $$\ell_{\xi,\xi'}=\big\{[a:\xi a:b:\xi' b] \ \vert\ [a:b]\in \mathbb P^1\big\}$$ donde $\xi,\xi'$ son 4 $^\text{th}$ todas las raíces de la unidad se encuentran en ese cuártico de Fermat, por lo que se obtienen 16 fibrados elípticos diferentes de esta manera.

Tenga en cuenta además que si $\xi\neq \xi''$ y $\xi'\neq \xi'''$ entonces $\ell_{\xi,\xi'}\cap \ell_{\xi'',\xi'''}=\emptyset$ Así obtenemos un par de secciones para cada una de las fibraciones elípticas descritas anteriormente.