Prueba conceptual de que $p\choose k$ ( $1 < k < p$ ) es divisible por $p$ cuando $p$ es primo? (Es decir, sin ecuaciones).

Question

Si $n,k\in \mathbf{N}$ entonces se define $n\choose k$ el número de maneras de elegir $k$ elementos de un conjunto de tamaño $n$ . Se puede demostrar entonces (mediante un argumento combinatorio) que $${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ siempre que $n\choose k$ se define. En particular, puesto que esta expresión es un número entero para todo $n$ y $k$ cuando $n=p$ es un primo, $p\mid{p\choose k}$ cuando $1< k<p$ .

A veces me he preguntado si también existe una prueba de este hecho que haga no utilizar la fórmula anterior; es decir, tal vez se pueda ver utilizando la definición de $n\choose k$ ? ¿Qué le parece?

Answer 1

Puedes agrupar tus subconjuntos de tamaño $k$ en familias de tamaño $p$ cuando sólo se diferencian por una "traducción".

Es decir, si uno de sus subconjuntos contiene $a_1, \dots, a_k$ la otra contiene exactamente los elementos $a_i+d$ pero considerado módulo $p$ volver a estar en el conjunto $\{1,2,\dots, p\}$ .

Answer 2

    p(choose)k= p! / (k! (p-k)!) = r 

Como k y p-k son ambos menores que p, y p es primo, no puede haber factores de p en k! (p-k)! ya que éste es un producto de números estrictamente menores que p, y ninguno de ellos (salvo el 1) puede dividir a p.

   Hence, since p! = r (k! (p-k)!) has a factor of p, r must have a factor of p.