Si tomo r como el vector radial del objeto en movimiento y v como el vector velocidad del objeto en movimiento en el campo de fuerza central. Entonces r debe ser perpendicular a r×v . Entonces eso representa que r.(r×v) = 0 . ¿Cómo puede decir esto que la partícula se encuentra en un plano constante?
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RESPUESTA GRÁFICA
En la Figura vemos 4 posiciones $\;\rm P_1,P_2,P_3,P_4\;$ de la partícula en movimiento con vectores de posición $\;\mathbf{r_1},\mathbf{r_2},\mathbf{r_3},\mathbf{r_4}$ . Bajo la influencia de una fuerza central el vector momento angular $\;\mathbf{L}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}\;$ es constante. Los vectores $\;\mathbf{r},\mathbf{v}\;$ son la posición y el vector velocidad de la partícula en un instante de tiempo arbitrario.
Así que \begin{align} \mathbf{r_1}& \perp \mathbf{L_1}=\mathbf{r_1}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v_1}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}=\mathbf{L} \tag{01.1}\label{eq01.1}\\ \mathbf{r_2}& \perp \mathbf{L_2}=\mathbf{r_2}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v_2}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}=\mathbf{L} \tag{01.2}\label{eq01.2}\\ \mathbf{r_3}& \perp \mathbf{L_3}=\mathbf{r_3}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v_3}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}=\mathbf{L} \tag{01.3}\label{eq01.3}\\ \mathbf{r_4}& \perp \mathbf{L_4}=\mathbf{r_4}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v_4}=\mathbf{r}\boldsymbol{\times}m\mathbf{v}=\mathbf{L} \tag{01.4}\label{eq01.4}\\ \end{align} que es el vector de posición $\;\mathbf{r_\jmath}(t_\jmath)\;$ en cualquier momento $\;t_\jmath\;$ es normal al vector constante $\;\mathbf{L}$ .
Así que todos los puntos $\;\rm P_\jmath\;$ todos los vectores de posición $\;\mathbf{r_\jmath}\;$ y, en consecuencia, todos los vectores de velocidad $\;\mathbf{v_\jmath}\;$ se encuentran en un plano perpendicular a $\;\mathbf{L}\;$ y tenemos movimiento plano.
Jos Gibbons
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Si la fuerza sobre un objeto es radial, $\mathbf{F}\parallel\mathbf{r}$ por lo que el momento angular $\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$ tiene una derivada temporal evanescente, una suma de dos productos cruzados de vectores paralelos viz. $\mathbf{v}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\mathbf{F}$ . La ortogonalidad a este momento angular conservado es lo que completa la prueba.
Stefano
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763
Curiosamente, esto no tiene nada que ver con 3D & producto cruzado per se: Podemos definir el momento angular $L^{ij}:=x^ip^j-x^jp^i$ en una dimensión espacial arbitraria $d$ y la afirmación del título de OP sigue siendo cierta.
Esto se deduce simplemente del hecho de que un fuerza central se obtienen las ecuaciones de movimiento $\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$ y $\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$ (que a su vez implican que el momento angular $L^{ij}$ se conserva). Defina $\pi$ es el plano/línea/punto (que pasa por el origen) atravesado por los vectores iniciales de posición y momento. Deduce (a partir de las ecuaciones de movimiento $\dot{\bf x} \parallel {\bf p}$ y $\dot{\bf p} \parallel {\bf x}$ ) que la masa puntual sigue confinada en este plano/línea/punto $\pi$ para siempre $t$ . $\Box$
