Extraña solución PDE

Question

Dada la ecuación lineal $$u_t -xt u_x = x$$ $x\in\mathbb{R}$ , $t>0$ , con IVP $u(x,0)=u_0(x)$ Mi solución es $u(x,t) = u_0(xe^{t^2/2})+xt$ pero Maple da una solución mucho más complicada a este PIV. Agradecería que alguien me indicara qué es lo que no estoy haciendo bien.

Asumiendo la parametrización $x=x(s), t=t(s), u=u(s)$ y aplicando el método de las características, obtenemos: $$t_s=1, x_s=-xt,u_s=x,$$ así que $$u_x = -\frac{1}{t}, u_t=x,$$ así

$$u=xt+c_2, x=e^{t^2/2}c_3,$$ donde $c_2, c_2$ son constantes.

Así que.., $u-xt=c_2, c_3 = xe^{t^2/2}$ , $G(xe^{t^2/2})=u-xt$ y $G(x) = u_0(x)$ y obtenemos $$u(x,t) = u_0(xt^{t^2/2})+xt$$

Pero Maple me da esto:

Answer 1

Siga el método de http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example :

$\dfrac{dt}{ds}=1$ , dejando $t(0)=0$ tenemos $t=s$

$\dfrac{dx}{ds}=-xt=-xs$ , dejando $x(0)=x_0$ tenemos $x=x_0e^{-\frac{s^2}{2}}=x_0e^{-\frac{t^2}{2}}$

$\dfrac{du}{ds}=x=x_0e^{-\frac{s^2}{2}}$ , dejando $u(0)=f(x_0)$ tenemos $u(x,t)=f(x_0)+\int_0^sx_0e^{-\frac{\tau^2}{2}}~d\tau=f(xe^\frac{t^2}{2})+\int_0^txe^\frac{t^2-\tau^2}{2}~d\tau$

$u(x,0)=u_0(x)$ :

$f(x)=u_0(x)$

$\therefore u(x,t)=u_0(xe^\frac{t^2}{2})+\int_0^txe^\frac{t^2-\tau^2}{2}~d\tau$