entonces la probabilidad de que la matriz $\begin{pmatrix} X_1 & X_2\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$ ¿es no singular?

Question

Sea $X_1, X_2, X_3, X_4$ sean variables aleatorias i.i.d asumiendo cada una los valores $1$ y $-1$ con probabilidades $1/2$ . entonces la probabilidad de que la matriz

\begin{pmatrix} X_1 & X_2\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}

¿es no singular?

Tenemos que averiguar la probabilidad de $X_1X_4-X_2X_3 \neq 0$ ¿pero cómo hacerlo?

Answer 1

O bien $X_1X_4=X_2X_3=1$ ( $4$ formas) o $X_1X_4=X_2X_3=-1$ ( $4$ formas), por lo que $\frac 8{2^4}=\frac 12$ probabilidad...

Answer 2

Quizás sea (geométricamente) más fácil comprobar si ${X_1 \over X_2} = {X_3 \over X_4}$ . Cualquiera de las partes toma valores $\pm 1$ con la misma probabilidad.