Una propiedad de aproximación en un espacio vectorial topológico separable

Question

Sea $X$ sea un espacio vectorial topológico.

Digamos que $X$ disfruta de separabilidad secuencial si existe una secuencia $\{x_n\}$ en $X$ tal que para cada $x\in X$ existe una subsecuencia de $\{x_n\}$ convergiendo hacia $x$

Ejemplo. Supongamos que $X$ es un TVS con $X=\bigcup_1^{\infty} X_n$ de forma que $X_n$ son relativamente separables metrizables. Entonces $X$ es secuencialmente separable. Así, todo espacio normado seprable es secuencialmente separable. Además, la topología de estrella débil en el dual de los espacios normados separables también es separable secuencialmente.

Q. ¿Hay algún ejemplo de TVS separable que no sea secuencialmente separable?

En efecto, para un TVS separable dado, ¿cuáles son las condiciones necesarias o suficientes para la propiedad secuencialmente separable?

Answer 1

El producto de a lo sumo un número continuo de espacios separables es separable. Por lo tanto, si $|I|=2^{\aleph_{0}}$ entonces $\mathbb{R}^{I}$ es un espacio vectorial topológico separable localmente convexo.

Por otro lado, $|\mathbb{R}^{I}|>2^{\aleph_{0}}$ . Si $X_{n}\subseteq\mathbb{R}^{I}$ para todos $n$ y cada $X_{n}$ es finito, entonces hay como máximo $2^{\aleph_{0}}$ muchas secuencias de la forma $(x_{n})_{n\in\omega}$ donde $x_{n}\in X_{n}$ para cada $n\in\omega$ . Por lo tanto, hay como máximo $2^{\aleph_{0}}$ muchos elementos $x\in\mathbb{R}^{I}$ donde $x_{n}\rightarrow x$ para alguna secuencia $(x_{n})_{n\in\omega}$ con $x_{n}\in X_{n}$ para cada $n\in\omega$ .