El cúbico $(x-1)(x-2)(x-2)=0$ tendrá las raíces 1 y 2. La expansión dará $x^3-5x^2+8x-4=0$ que tiene la forma $ax^3+bx^2+cx+d=0$ . Deprimiéndolo mediante la sustitución $x = t - \frac{b}{3a} = t+\frac{5}{3}$ dará $t^3-\frac{1}{3}t+\frac{2}{27}=0$ . Se presenta en la forma $t^3+pt+q=0$ .
Utilizando la fórmula de Cardano $x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$ para lo anterior, se obtiene la siguiente raíz.
\begin{align} x &= \sqrt[3]{-\frac{\frac{2}{27}}{2} + \sqrt{\left(\frac{\frac{2}{27}}{2}\right)^2+\left(\frac{-\frac{1}{3}}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{\frac{2}{27}}{2} - \sqrt{\left(\frac{\frac{2}{27}}{2}\right)^2+\left(\frac{-\frac{1}{3}}{3}\right)^3}}\\ &= \sqrt[3]{-\frac{1}{27} + \sqrt{\left(\frac{1}{27}\right)^2+\left(-\frac{1}{9}\right)^3}} + \dots\\ &= \sqrt[3]{-\frac{1}{27} + \sqrt{\frac{1}{729}+\left(-\frac{1}{729}\right)}} + \dots\\ &= \sqrt[3]{-\frac{1}{27} + \sqrt{0}} + \sqrt[3]{-\frac{1}{27} - \sqrt{0}}\\ &= \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} + \sqrt[3]{-\frac{1}{27}}\\ &= -\frac{1}{3} + -\frac{1}{3}\\ &= -\frac{2}{3}\\ \end{align}
Sin embargo, el cúbico inicial no tenía $-\frac{1}{6}$ como una de sus raíces. Si el cúbico deprimido $t^3-\frac{1}{3}t+\frac{2}{27}=0$ es completamente diferente a la original, siendo la otra raíz $\frac{1}{3}$ .
Yo pensaba que deprimir un cubicaje era simplemente reescribirlo y no cambiarlo. Y si cambia lo que es el cúbico, entonces ¿por qué se dice que la fórmula de Cardano funciona para todos los cúbicos, no debería decirse que sólo funciona para los cúbicos deprimidos?
