Extensión de haces vectoriales en un subesquema abierto dado, reprise

Question

En este pregunta Ariyan plantea la cuestión de la unicidad de las extensiones de haces vectoriales cuando existen.

La respuesta de Sasha sugiere que las extensiones de haces vectoriales no siempre existen.

Más concretamente, si $F$ es un haz vectorial sobre un subesquema abierto $U$ no siempre existe un haz vectorial $F'$ en el espacio ambiente $X$ tal que $F'|_U \cong F$ .

¿Alguien puede darme un ejemplo sencillo de tal $F$ ?

Me interesa sobre todo el caso en que $X$ es una variedad (sobre $\mathbb{C}$ ), y $U$ es una subvariedad abierta. Probablemente quiero $X$ ser suave.

Answer 1

El ejemplo más sencillo es el siguiente. Tomemos $X = A^3$ con coordenadas $(x,y,z)$ y que $E = Ker(O_X \oplus O_X \oplus O_X \stackrel{(x,y,z)}\to O_X)$ . Sea $U$ sea el complemento del punto $(0,0,0) \in X$ . Entonces $E_{|U}$ es un haz vectorial. Por otro lado, $E$ no es un haz vectorial, sino que $E^{**} \cong E$ Por lo tanto $E$ es la envolvente reflexiva de $i_*i^*E$ por lo que no existe ningún haz vectorial en $X$ ampliando $E_{|U}$ .

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[Editado por Anton: Acabo de pasar algún tiempo digiriendo algunas partes de la respuesta anterior, así que pensé en incluir los resultados para futuros lectores similares a mí].

(" $E$ no es un haz vectorial") La secuencia $O_X\xrightarrow{\pmatrix{z\\ y \\ x}}O_X^3\xrightarrow{\pmatrix{y & -z & 0\\ -x & 0 & z\\ 0 &x&-y}}O_X^3\xrightarrow{\pmatrix{x& y& z}}O_X$ es exacta, por lo que $E$ es el cokernel del primer mapa. Como tomar fibras conmuta con tomar cokernels, calculamos que $E$ tiene fibras bidimensionales alejadas del origen y fibra tridimensional en el origen.

(" $E^{**}\cong E$ ") Tenga en cuenta que $E$ es $S_2$ (es decir, las secciones definidas fuera de la codimensión 2 se extienden unívocamente) puesto que es el núcleo de un mapa de un $S_2$ a un conjunto libre de torsión (la sección de $O_X^3$ se extiende unívocamente, y su imagen es cero a partir de la codimensión 2, por lo que debe ser cero, así que la sección extendida está en $E$ ). Obsérvese también que el dual de cualquier gajo es $S_2$ (si $\phi\colon F\to O_X$ se define en un conjunto abierto $V$ con complemento de codimensión 2 y $s$ es una sección, $\phi(s)$ debe ser la extensión única de $\phi(s|_V)$ como una sección de $O_X$ ), por lo que $E^{**}$ es $S_2$ . El mapa canónico $E\to E^{**}$ es entonces un mapa de $S_2$ que es un isomorfismo a partir de la codimensión 2, por lo que debe ser un isomorfismo.

("y por tanto no existe ningún haz vectorial en $X$ ampliando $E|_U$ ") Si $F$ es un $S_2$ ampliación de $E|_U$ (es decir $i^*F=i^*E$ ), entonces existe un mapa $F\to i_*i^*E\to (i_*i^*E)^{**}=E$ que es un isomorfismo sobre $U$ por lo que es un isomorfismo por el argumento del párrafo anterior. Una extensión de haz vectorial sería un $S_2$ extensión.

Answer 2

Esto es un poco perverso, pero más que responder a la pregunta, quiero explicar qué puede salir mal cuando se intenta construir un ejemplo. Este es el tipo de cosas que uno nunca hace normalmente, así que creo que es interesante.

1. Si $X$ es una curva suave, entonces cualquier haz vectorial $E$ en un conjunto abierto $U$ se extiende. Para ver esto, podemos suponer que después de reducir $X$ que $E$ es trivial. Entonces puede ser extender a un haz trivial (la extensión no es única).

2. Si $X$ es una superficie lisa, entonces cualquier haz vectorial $E$ en un conjunto abierto $U$ se extiende. (Creo que la respuesta de Olivier Benoist contiene una idea muy bonita, pero la conclusión no me parece bien). Para simplificar el argumento, supongamos que $X-U=\{p_1,p_2\ldots \}$ es de dimensión cero. Podemos encontrar secciones finitas en un vecindario $V$ de $p_i$ que generan $E^*$ . Esto da lugar a una inclusión $E|_V\hookrightarrow \oplus \mathcal{O}_V^n$ y, por lo tanto $j_*E|_V \hookrightarrow\mathcal{O}_X^n$ , donde $j:U\hookrightarrow X$ es la inclusión. Se deduce fácilmente que $j_*E$ es coherente. Por lo tanto $F=(j_*E)^{**}$ es una extensión reflexiva de $E$ . Sin embargo, las láminas reflexivas tienen profundidad 2. Dado que, por Auslander-Buchsbaum-Serre, profundidad+proj.dim=2 en $\mathcal{O}_{p_i}$ podemos concluir que $F$ es de hecho localmente libre.

3. En vista de la respuesta de jvp, vemos que 2 no se cumple en la categoría analítica.

4. Se podría buscar una obstrucción topológica que implique clases de Chern como en el comentario de David Treumann, sin embargo: Afirmación: Cualquier clase de Chern en $U$ se extiende a $X$ donde $X$ es una compactificación parcial suave. Demostración: Con un poco de maña se puede ver se puede ver que $c_p(E)$ yacería en $W_{2p}H^{2p}(U,\mathbb{Q})=im H^{2p}(X,\mathbb{Q})$ de Deligne, Teoría de Hodge II, III

Answer 3

En la categoría analítica existen haces de líneas sobre $X = \mathbb C^2 - \{ 0\}$ que no se extienden a $\mathbb C^2$ . Desde $X$ tiene el tipo homotópico de la esfera $S^3$ la secuencia exponencial $$0\to \mathbb Z \to \mathcal O_X \to \mathcal O_X^* \to 1$$ implica $H^1(X,\mathcal O_X) = H^1(X, \mathcal O_X^*)$ . En $H^1(X,\mathcal O_X)$ es de dimensión infinita, hay muchos elementos distintos de cero en $H^1(X,\mathcal O_X^*)$ . Definen haces de líneas que no se extienden.

Answer 4

Generalizar El ejemplo de @Sasha .

Sea $X$ sea un esquema proyectivo regular sobre un anillo noetheriano $A$ y que $Z$ sea un subesquema cerrado de $X$ de codimensión $\ge 3$ . La gavilla ideal $I_Z$ se genera por secciones después de tensar por $O_X(l)$ para algunos $l \gg 0$ se deduce que w $$0 \to E \to O_X(l)^m \to O_X \to O_Z \to 0$$ para algunos $m$ l Si $U \subset X - Z$ es cualquier subconjunto abierto cuyo complemento es de codimensión $\ge 2$ entonces $E|U$ es localmente libre pero no se extiende a la totalidad de $X$ o a cualquier conjunto abierto que contenga un punto asociado de $Z$ .

1. Para cualquier $x\in X$ el anillo $O_{X,x}$ es regular y, por tanto, el módulo $E_x$ es de dimensión proyectiva finita. Para un módulo de dimensión proyectiva finita, ser un segundo syzygy es equivalente a ser reflexivo. De ello se deduce que $E_x$ es reflexivo para todo $x\in X$ y así $E$ es reflexivo. Claramente $E$ es localmente libre en $X-Z$ .

2. Sea $z$ sea un punto asociado de $Z$ entonces afirmamos $E_z$ no es gratuito en $z$ . El módulo $O_{Z,z}$ tiene dimensión proyectiva finita pdim $O_{Z,z}$ = profundidad $O_{X,z}$ - profundidad $O_{Z,z}$ mediante la fórmula Auslander-Buchsbaum. Dado que $z$ es un punto asociado de $Z$ tenemos profundidad $O_{Z,z} = 0$ . Dado que Z tiene codimensión $\ge 3$ y $O_{X,z}$ es Cohen-Macaulay, concluimos que pdim $O_{Z,z}$ = profundidad $O_{X,z}$ = dim $O_{X,z} \ge 3$ . De ello se deduce que $E_z$ no puede ser libre, de lo contrario $$0 \to E_z \to O(l)^m_z \to O_{X,z} \to O_{Z,z} \to 0$$ sería una resolución libre de $O_{Z,z}$ de longitud 2.

3. En un esquema que satisface (G1) (Gorenstein en codimensión uno) y la condición de Serre (S2), por ejemplo, normal, Cohen-Macaulay, regular, etc., una gavilla reflexiva admite una extensión única desde un conjunto abierto cuyo complemento tiene codimensión $\ge 2$ a todo el espacio.