Demostrar que un álgebra sigma infinita contiene una secuencia infinita de conjuntos disjuntos y es incontable.

Question

La siguiente pregunta es de Folland Análisis Real, capítulo 1 problema 3.

Sea $\mathcal{M}$ sea un infinito $\sigma$ -álgebra. Demostrar que

a. $\mathcal{M}$ contiene una secuencia infinita de conjuntos disjuntos.

b. $\text{card}(\mathcal{M}) \ge \mathfrak{c}$ .

Este es el problema en el que estoy totalmente atascado. En primer lugar, creo que falta una condición en (a). Para que (a) tenga sentido, (a) debería corregirse : "M contiene una colección infinita de conjuntos disjuntos y no vacíos". Pero no encuentro la forma de construir tal colección de conjuntos.

¿Alguien podría indicarme cómo solucionarlo?

Answer 1

Sea $X$ sea todo el espacio. Primero demostramos que

hay $E\in\mathcal{M}$ tal que la restricción de $\mathcal{M}$ a $E^c$ sigue siendo infinito.

Si no existe $E$ existía, entonces elige cualquier $\emptyset\neq E\in\mathcal{M}$ . La restricción de $\mathcal{M}$ a $E^c$ es finito. Pero la restricción a $E$ también debe ser finito porque de lo contrario podríamos tomar $E^c$ para el papel de $E$ . Observe que $\mathcal{M}$ sería generada por las dos restricciones finitas, y disjuntas, y eso implicaría que ella misma es finita.

Aplique ahora la inducción para definir la secuencia infinita. Elige la primera $E_0$ con esa propiedad, $E_1$ con la misma propiedad a partir de la restricción del $\sigma$ -álgebra a $E^c$ , $E_2$ de la restricción de la $\sigma$ -álgebra a $E^c\setminus E_1$ y así sucesivamente...

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Para la parte (b) considera las (incontables muchas diferentes) uniones arbitrarias de elementos de la secuencia. Todos ellos deben ser elementos de $\mathcal{M}$ .