Problema de la Secuencia de Fibonacci. Demostrar que hay infinitos números primos tales que $p$ divide $F_{p-1}$

Question

He intentado utilizar la reciprocidad cuadrática, pero no entiendo cómo utilizar las fórmulas explícitas para terminar el problema. Supuse que los primos que funcionan son congruentes a $\pm1\bmod5$ pero no podía generalizar. donde $F_{p-1}$ es el p-1º término de la Secuencia de Fibonacci

Answer 1

Dada la fórmula explícita $$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right], $$ tan pronto como $p>5$ es un primo para el que $5$ es un residuo cuadrático (es decir, un primo $p\equiv \pm 1\pmod{5}$ por reciprocidad cuadrática) tenemos $$ F_{p-1}\equiv 0\pmod{p} $$ como consecuencia del pequeño teorema de Fermat.
$\left(\frac{5}{p}\right)=+1$ nos permite considerar $\sqrt{5}$ como elemento de $\mathbb{F}_p^*$ .

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En general, $\sqrt{5}$ es un elemento de $\mathbb{F}_{p^2}$ Por lo tanto $p\mid F_{p^2-1}$ para cualquier primo $p\neq 5$ .
Además, si $p\neq 5$ no divide $F_{p-1}$ divide $F_{p+1}$ .