Mis intentos: Sustituir en el $Z(t)= X(t)Y(t)$ en $\mathrm{Cov}(X(t),Z(t))$ . A partir de ahí, intenté dividirlo en covarianzas más pequeñas. También tratando de averiguar cómo pueden las funciones generadoras de momento puede entrar en juego aquí.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Snoop
Puntos
491
$$\textrm{Cov}[X_t,Z_t]=E[X_tZ_t]-E[X_t]E[Z_t]$$ $$E[X_tZ_t]=E[X_t^2Y_t]=E[X_t^2]E[Y_t]$$ $$\textrm{Cov}[X_t,Z_t]=E[X_t^2]E[Y_t]-E[X_t]^2E[Y_t]=(E[X_t^2]-E[X_t]^2)E[Y_t]=\textrm{Var}[X_t]E[Y_t]$$ Sea $f_{X_t}$ sea la distribución lognormal de $X_t$ y $f_{\ln(X_t)}$ la distribución normal de $\ln(X_t)$ . Entonces, si $e^z=x \sim \textrm{Lognorm}$ entonces $z \sim \textrm{Norm}$ así que
$$E[X_t^n]=\int_{(0,\infty)}x^nf_{X_t}(x)dx=\int_\mathbb{R}e^{zn}f_{\ln(X_t)}(z)dz$$ que es la función generadora de momentos $\varphi(n)$ de una gaussiana con media $\ln(X_0)+(\mu_X-0.5\sigma_X^2)t$ y varianza $\sigma^2_Xt$ así que ahora sabemos que $$E[X_t^n]=e^{n(\ln(X_0)+(\mu_X-0.5\sigma_X^2)t)+n^20.5\sigma^2_Xt}$$ Por lo tanto $$E[X_t]=X_0e^{\mu_X t}$$ $$E[X_t^2]=X_0^2e^{2\mu_X t+\sigma^2_Xt}$$
