¿Las potencias del operador de desplazamiento aplicadas a un vector distinto de cero dan siempre un conjunto total?

Question

Sea $S$ sea el operador de desplazamiento (digamos, a la izquierda) en $\ell^2(\mathbb{Z})$ . Para un vector distinto de cero $x \in \ell^2(\mathbb{Z})$ consideremos el conjunto $$X = \{ S^n v \mid n \in \mathbb{Z} \}.$$ ¿Se trata siempre de un conjunto total, es decir, su tramo es denso en $\ell^2(\mathbb{Z})$ ?

Answer 1

Estos conjuntos no siempre son totales. El operador de desplazamiento $S$ es unitariamente equivalente a la multiplicación por $z$ en $L^2(S^1)$ . Desde esta perspectiva se pueden ver vectores para los que el conjunto que se escribe no es total, por ejemplo la función característica de un intervalo.