Prueba $[a]_n$ tiene un único representante $r$ donde $0\leq r<n$

Question

Demostrar cada clase de congruencia $[a]_n$ en $\mathbb{Z_n}$ tiene un único representante $r$ tal que $0\leq r<n$ .

Mi prueba. Supongamos por el contrario que $[a]_n$ no tiene un único $r$ . Es decir $r'$ sea el otro representante tal que $r\neq r'$ y $0\leq r,r'< n$ . Por el algoritmo de división y nuestra suposición se deduce que $a=nq+r$ y $a=nq'+r'$ donde $q, q'\in\mathbb{Z}$ Pero se deduce que $nq+r=nq'+r'\implies nq-nq'=r'-r\implies n|(r'-r)\implies r'\equiv r \pmod{n} $ . Pero como asumimos $0\leq r,r'< n$ se deduce que $r=r'$ una contradicción. ¿Sería esto correcto?

Answer 1

Basta con dividir cualquier número entero por n y la existencia de tal representante se deduce directamente del teorema de la división de Euclides. Tu demostración sobre la unicidad es buena y aceptable intuitivamente, pero creo que no es del todo rigurosa. Puedes ir un paso más allá en tu argumento y decir $n|(r-r')$ da $n \leq |r-r'|$ . pero $0 \leq r<n$ y $0 \leq r'<n$ da $0 \leq|r-r'|<n$ Pero si $|r-r'| \neq 0$ tendremos $|r-r'| < |r-r'|$ lo cual es absurdo. Por lo tanto $|r-r'| =0$ y porque ambos $r$ y $r'$ son positivos debemos tener $r= r'$