¿Cómo debo interpretar este resultado?

Question

Demuestra o da un contraejemplo: Sean A y B conjuntos.

$$A \backslash ( A \backslash B) = B \backslash ( B \backslash A)$$

Un intento de prueba:

Si $x \in A \backslash ( A \backslash B)$ entonces $x \in A$ y $x \notin A \backslash B$ .

Pero si $x \notin A \backslash B$ entonces $x \notin A,B$ o $x \in B$ lo cual es una contradicción.

¿Me equivoco? ¿Hay algún contraejemplo evidente?

Answer 1

$$A\backslash (A\backslash B)=A\cap (A\cap B^c)^c=A\cap(A^c\cup B)=(A\cap A^c)\cup (A\cap B)=A\cap B,$$

$$B\backslash (B\backslash A)=B\cap (B\cap A^c)^c=B\cap(B^c\cup A)=(B\cap B^c)\cup (B\cap A)=B\cap A= A\cap B,$$

y, por tanto, ambos son iguales.

Para responder a su pregunta:

No hay contradicción. Si $x\in A\backslash (A\backslash B)$ entonces $x\in A$ pero $x\notin A\backslash B$ . Por lo tanto $x\in B$ también. De hecho, si $x\notin A\backslash B$ entonces $x\in A^c$ o $x\in B$ . Pero si $x\in A$ entonces $x$ no puede estar en $A^c$ Por lo tanto $x$ debe estar en $B$ . Concluimos que $x\in A$ y $x\in B$ lo que podemos deducir por $x\in A\cap B$ .

Answer 2

Es mejor utilizar el álgebra para demostrarlo.

$$\begin{align} A-(A-B)&=A\cap(A\cap B^c)^c \hspace{14 mm} (A-B=A\cap B^c) \\ &=A\cap(A^c\cup B) \hspace{16 mm} ((B^c)^c=B) \\ &=(A\cap A^c)\cup (A\cap B) \hspace{4 mm} (A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)) \\ &=\emptyset\cup(A\cap B) \hspace{19 mm} (A\cap A^c=\emptyset) \\ &=A\cap B \end{align}$$

Del mismo modo, existe $$B-(B-A)=B\cap A=A\cap B$$ Y así $$B-(B-A)=A-(A-B)$$

Answer 3

No hay contradicción. En cuestión de orden, $x\notin A\setminus B$ significa o bien $x\notin A$ o $x\in B$ . Eso no es un " y ".

Así que si tomamos cualquier $x$ en $A\setminus(A\setminus B)$ entonces tenemos "cualquier $x$ en A excepto esos no también en $B$ ". Que es simplemente "cualquier $x$ sólo en ambos $A$ y $B$ ".

$$A\setminus(A\setminus B) = A\cap B$$