Existen dos definiciones comunes de lo que significa que un grupo topológico sea profinito, que distinguiré como "formalmente profinito" y "compacto profinito".
- Formalmente profinito: un límite inverso de grupos finitos, con la topología del límite inverso.
- Profinite compacto: un grupo topológico compacto Hausdorff totalmente desconectado
Por compacto entiendo que cualquier cubierta abierta tiene una subcubierta finita. ZF demuestra que todo grupo profinito compacto es formalmente profinito: es un límite de cocientes por subgrupos abiertos normales. La otra implicación no es un teorema de ZF. La compacidad es equivalente al teorema del ideal primo booleano.
ZF demuestra la existencia de un homomorfismo discontinuo de un cierto grupo formalmente profinito a un grupo finito. No conozco la respuesta con grupos profinitos compactos, aunque hay modelos que descartan algunas clases de mapas discontinuos. $\DeclareMathOperator{colim}{colim}$
Sea $k=\mathbb F_2.$
Teorema. (ZF) Existe un grupo formalmente profinito $V$ y un homomorfismo de grupo discontinuo $V\to k.$
Si podemos encontrar un $k$ -espacio vectorial $V$ tal que el mapa natural $V\to V^{**}$ no es suryectiva, entonces obtenemos un homomorfismo $V^*\to k$ que es discontinua cuando $V^*$ recibe la topología de convergencia puntual. Esta topología hace que $V^*$ en un grupo formalmente profinito: es el límite inverso de los duales de subespacios finitos de $V.$
Lo primero que hay que probar es el espacio de soporte finito $\omega$ -secuencias, $V_1=\colim_{n\in\omega} k^n.$ El espacio dual es el producto directo $k^\omega.$ Si $V_1\to V_1^{**}$ no es suryectiva hemos terminado. Así que podemos suponer que cada lineal $k^\omega\to k$ es un producto punto con un vector finito.
La segunda cosa a tratar es el espacio de countably apoyado $\omega_1$ -secuencias, $V_2=\colim_{\alpha\in\omega_1} k^\alpha.$ Sea $e_\alpha\in V_2$ denota el vector con $e_\alpha(\alpha)=1$ y $e_\alpha(\beta)=0$ para $\beta\neq \alpha.$ Para cada lineal $\phi:V_2\to k$ defina $I_\phi=\{\alpha:\phi(e_\alpha)\neq 0\}.$
Demostraremos que $I_\phi$ es siempre finito. Fije $\phi$ y que $\beta$ sea el supremo de los ordinales $\alpha$ tal que $\alpha\cap I_\phi$ es finito. Por la suposición de que cada lineal $k^{\omega}\to k$ es un producto punto con un vector finitamente soportado, la restricción de $\phi$ a $k^{\alpha}$ es un producto punto con un vector finitamente soportado. Pero su soporte es $\beta\cap I_\phi,$ así que $I_\phi$ es finito.
Definir una función lineal $F:V_2^*\to k$ tomando $\phi$ a $\sum_{\alpha\in I_\phi} \phi(e_\alpha).$ Esto no es a imagen y semejanza de $V_2\to V_2^{**}$ porque $F(x\mapsto x_\alpha)=1$ para todos $\alpha.$ En cualquier caso hemos encontrado un espacio vectorial $V$ tal que $V\to V^{**}$ no es suryectiva. Si nos vemos obligados a elegir podemos tomar $V=V_1\oplus V_2.$ ( Chiste viejo )
La compacidad puede ser una noción sensata sin el teorema del ideal primo booleano. El teorema de Tychonoff funciona bien si toda su entrada está bien ordenada. En particular, dado un sistema inverso de grupos finitos $G_i$ donde la unión de $G_i$ está bien ordenado, el límite inverso es compacto.
Cualquier ultrafiltro no principal en $I$ define una función discontinua en $k^I,$ independientemente de que $k^I$ es compacto. Por un resultado de Blass que no he visto [1], es consistente con ZF que todo ultrafiltro sea principal. Como dijo BS en su respuesta, un modelo de Shelah se ocupa del caso segundo-contable. Así que tenemos dos modelos diferentes que descartan diferentes clases de mapas discontinuos. Estos dos resultados pueden combinarse:
Teorema. Es coherente con ZF que no exista un mapa discontinuo $G\to H$ donde $G$ es un producto de grupos profinitos compactos contables en segundo lugar y $H$ es finito. ( $G$ no se supone que sea compacto).
Pincus y Solovay [2] se basaron en el argumento de Blass para construir un modelo $N$ sin ultrafiltros y satisfaciendo el práctico axioma Dependent Choice. Trabajando en $N$ Por ahora, supongamos que tenemos un grupo finito $H,$ una familia de grupos compactos profinitos de segundo recuento $S_i, i\in I$ con el producto $G=\prod_{i\in I}S_i,$ y un homomorfismo discontinuo $\phi:G\to H.$
Para cada $J\subseteq I$ deje $\phi^J:G\to H$ denota el mapa $\phi^J(g)=\phi(g^J)$ donde $g^J_i=g_i$ para $i\in J$ y $g^J_i=1$ para $i\not\in J.$ Sea $\mathcal I$ sea el ideal de subconjuntos $J\subseteq I$ tal que $\phi^J$ es trivial. Sea $B$ denota el álgebra booleana $\mathcal P(I)/\mathcal I.$ Consideraremos dos casos, y en cada uno de ellos construiremos una secuencia $g_n\in G$ avec $\phi(g_n)\neq 1$ tal que para cada secuencia $x\in \{0,1\}^\omega,$ el producto $g_0^{x_0}g_1^{x_1}\dots$ converge. (Si $G$ es compacta, la última condición es equivalente a $g_n\to 1.$ )
Si $B$ es infinita, elija una anticadena contablemente infinita, y elija representantes disjuntos $J_0,J_1,\dots\subset I$ avec $\phi^{J_n}$ no trivial. Elige también $g_n$ avec $g_n=g_n^{J_n}$ (es decir $(g_n)_i=1$ para $i\not\in J_n$ ) tal que $\phi(g_n)\neq 1.$ Cualquier producto $g_0^{x_0}g_1^{x_1}\dots$ converge.
Consideremos ahora el caso de que $B$ es finito. Para cada átomo $b$ elija un juego $J_b$ representando a $b.$ Desde $\phi(g)=\phi(\prod_b g^{J_b})=\prod_b \phi^{J_b}(g)$ (con cualquier orden de elección), algunos $\phi^{J_b}$ debe ser discontinua. Elige una. El ultrafiltro $\mathcal P(J_b)\setminus \mathcal I$ es principal porque $N$ no tiene ultrafiltros no principales. Por tanto, existe un $i\in J_b$ y un homomorfismo $\psi:S_i\to H$ avec $\phi^{J_b}(g)=\psi(g_i)$ para todos $g.$ Por segunda contabilidad, existe una secuencia descendente de subgrupos normales abiertos $U_0,U_1,\dots$ de $S_i$ tal que $\bigcap_j U_j=\{1\}.$ Si $\psi$ es trivial en algunos $U_j$ entonces $\psi$ es continua, una contradicción. En caso contrario, podemos elegir $g_n\in U_{k_n}$ avec $\psi(g_n)\neq 1$ y $k_n$ estrictamente creciente para garantizar $g_n\to 1.$ La compacidad garantiza que cada límite $g_0^{x_0}g_1^{x_1}\dots$ existe. Incrustar estos $g_n$ en $G$ utilizando el mapa obvio $S_i\to G.$
Podemos suponer que $H$ está en el modelo de suelo $L.$ Defina $\psi: 2^\omega\to H$ por $\psi(x)=\phi(g_0^{x_0}g_1^{x_1}\dots).$ Nota $\psi(x)\neq \psi(x’)$ siempre que $|\{i:x_i\neq x’_i\}|=1.$ El argumento de que no hay ultrafiltros en $\omega$ de [2, Sección 1.2] con un pequeño cambio para utilizar una desigualdad en lugar de una igualdad. (Sería un poco más fácil de usar Cohen forzando aquí en lugar de reales aleatorios. He sido conservador y he evitado cambiar el modelo).
Fijar $h\in H.$ Su evento $a$ debe modificarse para
$$a_h=\|s(\dot R|v)\in t_h(\dot R|u)\|$$
donde $t_h(\dot R|u)$ es un término que define la preimagen $\psi^{-1}(\{h\}).$ Su igualdad $l(a\cap b)=l(b)/2$ debe modificarse por la desigualdad $l(a_h\cap b)\leq l(b)/2.$ Por el argumento de la transformación preservadora de la medida de [2, Sección 1.2], todas las aperturas básicas $b$ satisfacen esta desigualdad. Por el teorema de la clase monótona, esta desigualdad también es satisfecha por $b=a_h,$ dando $l(a_h\cap a_h)\leq l(a_h)/2.$ Por lo tanto $l(a_h)=0.$ (Como alternativa, aplique el teorema de la densidad de Lebesgue para $2^\omega.$ ) Esto es válido para $h,$ contradictorio $\bigvee_{h\in H} a_h=1.$
[1] Blass, Andreas Un modelo sin ultrafiltros, Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 25, 329-331 (1977). ZBL0365.02054 .
[2] Pincus, David; Solovay, Robert M. , Definibilidad de medidas y ultrafiltros J. Symb. Log. 42, 179-190 (1977). ZBL0384.03030 .
