Cómo determinar la ecuación indicial cuando hay más de un término principal

Question

Tengo problemas para determinar cuándo ignorar el término principal al resolver una E.D.O. con un punto singular regular y cuándo resolver la ecuación indicial.
Creo que esto se reduce más o menos a determinar qué a_n (normalmente a_1 o a_2) son 0, sin embargo no parece haber ninguna forma obvia de averiguarlo para mí.

Mis habilidades de mecanografía matemática son bastante débiles, así que he adjuntado una imagen con mi trabajo y con una breve explicación de dónde estoy confundido exactamente.

https://i.stack.imgur.com/ANK67.jpg

¡¡¡Si algo de esto no está permitido o si hay una pregunta que es muy similar a este por favor hágamelo saber - pero te prometo que traté de investigar!!!

Answer 1

Es absolutamente necesario $a_0\ne 0$ para que el planteamiento tenga sentido. Si $a_0=0$ sólo cambia el índice, $\sum_{n=1}^\infty a_nx^{n+r}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^{n+(r+1)}=\sum_{n=0}^\infty \tilde a_nx^{n+\tilde r}$ y se obtiene el mismo argumento, un círculo vicioso.

Sin embargo, nada impide $a_1=0$ que es lo que aparentemente ocurre en este caso. La recursión conecta $a_n$ a $a_{n-2}$ , por lo que los coeficientes impar son cero y la serie está en los coeficientes pares.