¿Cómo son las partes integrantes de $(9 + 4\sqrt{5})^n$ $(9 − 4\sqrt{5})^n$ relacionados con la paridad de $n$?

Question

Estoy atascado en esta pregunta,

Las partes integrales de $(9 + 4\sqrt{5})^n$ $(9 − 4\sqrt{5})^n$ son:

1. incluso, y cero si $n$ es incluso;
2. extraño y cero si $n$ es incluso;
3. incluso, y uno de los si $n$ es incluso;
4. impar y uno si $n$ es incluso.

Creo que el problema o las opciones están equivocados. A mí me parece que la respuesta debe ser impar, independientemente de $n$. Considere lo siguiente:

$$ \begin{align*} (9 \pm 4 \sqrt{5})^4 &= 51841 \pm 23184\sqrt{5} \\ (9 \pm 4 \sqrt{5})^5 &= 930249 \pm 416020\sqrt{5} \end{align*}$$

Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

La idea es ver que $(9+4\sqrt{5})^n+(9-4\sqrt{5})^n=2d_n$ es un número par para cada $n$. Esto puede ser visto usando el binomio de expansión de la fórmula, y viendo que las impares aparecen los términos de una vez con $+$ una vez con $-$, e incluso están siempre con $+$ y enteros.

Por otra parte, $0<(9-4\sqrt{5})=9-\sqrt{80}=\frac{1}{\sqrt{81}+\sqrt{80}}<1$. Esto significa que la parte entera de que el segundo término es cero. Y por el otro, pensar como este

$$2d_n-1<(9+4\sqrt{5})^n<2d_n$$ so the integer part of the first term is always odd. The correct answer would be the second one (although this happens for every $n$).

[editar] Como Arturo Magidin escribió en su comentario, la parte entera de un número real $x$, a menudo denotado $\lfloor x \rfloor$ es el único entero $\lfloor x \rfloor=k$ tal que $k \leq x < k+1$, y no es igual a $a$ a partir de la expansión de la $(9\pm 4\sqrt{5})^n=a\pm b\sqrt{5},\ a,b \in \Bbb{Z}$.

Answer 2

Alternativa a la expansión binomial, se puede deducir que $\rm\:w = (9+4\sqrt{5})^n + (9-4\sqrt{5})^n\:$ está aún por señalar que la noción de paridad extiende de manera exclusiva de $\;\mathbb Z\:$ $\:\mathbb Z[\sqrt{5}]\:$definiendo $\rm\:\sqrt{5}\:$ a un ser extraño. Por lo tanto, desde el $\rm\:w'= w\:,\:$ podemos deducir que los $\rm\:w\in \mathbb Z\:$ con paridad $\rm\ odd^n +\: odd^n\: =\ odd+odd\ =\ even\:.\ $, Entonces el resultado deseado de la siguiente manera fácilmente como Beni, explicó. Observe, en particular, de cómo este punto de vista es muy natural mayor grado de extensión de la omnipresencia de la paridad de las demostraciones basadas en $\mathbb Z\:.$

Alternativamente, se sigue inmediatamente del hecho de que, mod $2$, la secuencia de $\rm\:w_n\:$ satisface una monic entero-coeficiente de recurrencia, y la primera $2$ (= grado) son los términos de $\equiv 0\:.\:$ por lo tanto, por inducción, así son todas las siguientes condiciones, a saber. $\rm\ f_{n+2} \equiv\ a\ f_{n+1} + b\ f_{n} \equiv\ 0\ $ desde que la inducción por $\rm\ f_{n+1},\ f_{n}\ \equiv\ 0\:.\: $ Dijo equivalentemente $\rm\:f_n \equiv 0\ $ por el teorema de unicidad de soluciones de ecuaciones de diferencia (recurrencias). Como yo, con frecuencia hincapié en la singularidad de los teoremas de proporcionar herramientas muy poderosas para probar las igualdades.

Aquí la unicidad teorema es bastante trivial, que asciende a la trivial de inducción que si dos soluciones de un grado $\rm\:d\:$ monic entero coeficiente de recurrencia de acuerdo para $\rm\:d\:$ valores iniciales, a continuación, están de acuerdo en que todos los valores posteriores; lo que es equivalente, teniendo diferencias, si la solución es $\:0\:$ $\rm\:d\:$ valores iniciales, entonces es idéntica $\:0\:$.

Más en general, el mismo es cierto para el entero de las combinaciones lineales de las raíces de cualquier monic entero coeficiente de la ecuación (es decir, algebraicas entero raíces) ya que también va a satisfacer una monic entero coeficiente de recurrencia, es decir. la ecuación característica asociada al polinomio de haber dicho raíces (el cuadrática caso es el ampliamente estudiado Lucas secuencia). Por tanto, cada término de la secuencia será divisible por $\rm\:m\:$ fib es cierto para el primer $\rm\:d\:$ (= grado). Más generalmente, uno fácilmente se comprueba que el mcd de todos los términos es simplemente el mcd de los valores iniciales.

Tenga en cuenta que, como en el anterior, se requiere sólo el conocimiento de la existencia de una recurrencia. No es necesario explícitamente calcular los coeficientes de la recurrencia; más bien, sólo su grado es empleado.

Answer 3

Para demostrar que $$ a_n:=\left(9+4\sqrt5\right)^n+\left(9-4\sqrt5\right)^n $$ es un entero par, basta observar que $a_0=2,a_1=18$ y $$ a_{n+2}=18\ a_{n+1}-a_n $$ para $n\ge0$.

La variación.

Tenga en cuenta que $a_n$ es un número entero. De hecho, $a_n$ es de la forma $b_n+c_n\sqrt5$ $b_n,c_n$ enteros, y $a_n$ no depende de la elección de la raíz cuadrada de $5$, lo $c_n=0$.

Una vez que sabemos que $a_n$ es un número entero, se pueden calcular en el campo de $\mathbb F_2$ con dos elementos (en el que $\sqrt5$ existe).

EDIT. Los argumentos anteriores mostrar esto: Si $a,b,d,n$ son enteros, y si $n\ge0$, luego $$ \left(a+b\sqrt d\right)^n+\left(a-b\sqrt d\right)^n $$ es un entero par.