Si $\cos 17x = f(\cos x)$ demuestre que $\sin 17 x=f(\sin x)$

Question

Si $f$ denota la función que da $\cos(17x)$ en términos de $\cos x$ es decir $\cos(17 x) = f (\cos x)$ entonces, demuestre que es la misma función $f$ que da $\sin(17x)$ en términos de $\sin x$ . Generalice este resultado.

Realmente soy incapaz de entender cómo debo proceder con esta pregunta. Muchas gracias.

Answer 1

$\displaystyle \cos 17x = f(\cos x) \\ \displaystyle\cos 17 (\frac{\pi}2 - x) = f(\cos (\frac{\pi}2 - x)) \\ \displaystyle\cos (\frac{17\pi}{2} - 17x) =f(\sin x) \\\displaystyle \cos (8\pi + \frac{\pi}{2} - 17x) = f(\sin x) \\ \displaystyle\cos(\frac{\pi}2 - 17x) = f(\sin x) \\\displaystyle \sin 17x = f(\sin x) $

La generalización es que $\displaystyle \cos nx = f(\cos x) \iff \sin nx = f(\sin x)$ es válido para $\displaystyle n = 4k+1, k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Para abreviar, dejemos que $\cos x=C$ y $\sin x=S.$

Sea $n=4m+1$ avec $m\in \Bbb Z^+.$ $$\cos nx=Re[(C+iS)^n]=\sum_{j=0}^{2m}C^{4m+1-2j}(iS)^{2j}\binom {4m+1}{2j}=$$ $$=\sum_{j=0}^{2m}C^{4m+1-2j}(C^2-1)^j\binom {4m+1}{2j}.$$

$$\sin nx=Im[(iS+C)^n]=\sum_{j=0}^{2m}(1/i)\cdot(iS)^{4m+1-2j}C^{2j}\binom {4m+1}{2j}=$$ $$=\sum_{j=0}^{2m}(-1)^jS^{4m+1-2j}(1-S^2)^j\binom {4m+1}{2j}=$$ $$=\sum_{j=0}^{2m}S^{4m+1-2j}(S^2-1)^j\binom {4m+1}{2j}.$$

Answer 3

Bueno, ya que $\cos(\arccos(x))=x$ para $-1 \le x \le 1$ tenemos $$f(\cos(x))=\cos(17x) \implies f(x)=\cos(17\arccos(x))$$ $$\implies f(\sin(x))=\cos(17\arccos(\sin(x))$$ y desde siempre $-1\le\sin(x) \le 1$ ya no tenemos el problema del dominio, queda por demostrar $$\cos(17\arccos(\sin(x))=\sin(17x)$$ Observe que $\arccos(\sin(x))=x-\frac{\pi}{2}$ para $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ por lo que la periodicidad implica que la ecuación anterior es cierta.