Función de probabilidad de lanzar una moneda en tres casos

Question

Tengo el siguiente problema:

Lancemos una moneda cuya probabilidad de salir cara es $\theta$ . Anote $\theta$ en los tres casos siguientes:

1. Lanza la moneda $n$ veces, obteniendo un total de 6 cabezas.
2. Lanza la moneda $n$ veces, obteniendo el resultado (cara, cara, cara, cara, cara, cara, cruz, cruz, ..., cruz), es decir, las 6 primeras vueltas son cara y el resto $n-6$ son colas.
3. Sigue lanzando la moneda hasta que obtengas 6 caras. Se observa que esto requiere $n$ vueltas en total.

Este es mi intento de solucionarlo:

1. $L(\theta)= {{n}\choose{6}}\theta^6(1-\theta)^{n-6}\propto \theta^6(1-\theta)^{n-6}$

2. $L(\theta)= \theta^6(1-\theta)^{n-6}$

3. ?

Mi pregunta es: ¿Son correctas mis 1-2 soluciones y cuál es la respuesta a parte 3.? ¿Es la misma que la solución de la parte 2. o no?

Answer 1

Sus respuestas para las piezas $(1)$ y $(2)$ se ven bien.

Por parte $(3)$ se restan las probabilidades respectivas de $k\;$ cabezas, donde $0 \le k\le 5$ de $1$ Por lo tanto $$L(\theta) = 1 - \sum_{k=0}^5{\small{\binom{n}{k}}}\theta^k(1-\theta)^{n-k}$$