Pruebas $4 \nmid n^2+2$ para todos $n \in \mathbb{Z}$

Question

Me pidieron que probara $4 \nmid n^2+2$ para todos $n \in \mathbb{Z}$ y me preguntaba si mi procedimiento era correcto.

$I$ . Supongamos que $n$ es par, o mejor dicho $n = 2Q, Q\in\mathbb{Z}$ . Supongamos también $4|n^2+2$ . Entonces

$$n^2+2=4q \tag{$ q\in\mathbb{Z} $}$$

$$\implies (2Q)^2+2 =4q$$ $$\implies 2=4(q-Q^2)$$

Nuestro resultado implica $4|2$ lo cual es absurdo. Entonces si $n$ es incluso no puede suceder $4|n^2+2$ .

$II.$ Supongamos que $n=2Q+1, Q\in\mathbb{Z}$ . Supongamos que $4|n^2+2$ . Entonces

$$n^2+2=4$$ $$\implies (2Q+1)^2+2=4q$$ $$\implies 4Q^2+4Q+3=4q$$ $$\implies 3=4(q-Q^2-Q)$$

lo que implica $4|3$ lo cual es absurdo. Entonces si $n$ es impar, $4\nmid n^2+2$ .

$III.$ Hemos demostrado $4|n^2+2$ es absurdo si $n$ es impar y si $n$ es par. Así hemos demostrado $4\nmid n^2+2$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ .

Tengo las dos preguntas generales que uno se hace al terminar una prueba. $A)$ ¿Es correcta la prueba? $B)$ ¿Había una prueba más sencilla? En este caso, ¿quizás una demostración que pudiera aplicarse directamente a todos los números enteros en lugar de tener que mostrar la propiedad para números pares e Impares por separado?

Answer 1

Su prueba es correcta. Aquí hay otra quizás más simple. Supongamos que usted puede tener $4\mid (n^2+2)$ para algunos $n$ . Entonces puede expresar $n^2+2 = 4m$ para algunos $m$ . Así que $n^2 = 2(2m-1)$ . Esto demuestra $2 \mid n^2 \implies 2 \mid n$ y esto le permite escribir $n = 2p$ para algunos $p$ . Por lo tanto $n^2 = (2p)^2 = 4p^2=4m-2\implies 2p^2=2m-1$ . Esto no puede ocurrir ya que el LSH es par y el RHS es impar. Por lo tanto $4 \nmid (n^2+2)$ .

Answer 2

Las mismas ideas pero más cortas: Si $n$ es par entonces $n=2Q$ , $Q\in\mathbb{Z}$ Así pues $$ (n^2+2)÷4=(4Q^2+2)÷4=Q^2+\frac12\not\in\mathbb{Z}. $$ Si $n$ es impar entonces $n^2+2$ es impar, así que $4\not\mid n^2+2$ .

Answer 3

La forma más fácil que se me ocurre para demostrarlo es considerar los números pares e Impares por separado.

$(2k)^2+2=4k^2+2$ que no es divisible por $4$

$(2k+1)^2+2=4k^2+4k+1+2=4(k^2+k)+3$ que no es divisible por $4$

Answer 4

¿Conoces el teorema de Euler? Tenemos $n^2\equiv 1\pmod4$ cuando $n$ y $4$ son relativamente primos.

Eso se encarga de $1$ y $3$ .

$0$ está claro.

Todo lo que queda es $n=2$ . Pero $2^2\equiv 0\not\equiv-2\pmod 4$ .