¿Qué hay de negativo en los estados de energía negativos en la ecuación de Dirac?

Question

Esta pregunta es una continuación de ¿Qué faltaba en el argumento de Dirac para llegar a la interpretación moderna del positrón?

Todavía hay cierta confusión en mi mente sobre las llamadas soluciones de "energía negativa" de la ecuación de Dirac. Al resolver la ecuación de Dirac se encuentra que el espectro de energías permitidas incluye soluciones positivas y negativas. ¿A qué se refiere esta negatividad? Dado que la ecuación de Dirac es simétrica bajo la conjugación de cargas, la convención de llamar a una positiva y a la otra negativa parece perfectamente arbitraria. ¿Sería por tanto correcto referirse a los electrones como "positrones de energía negativa"?

Con un espíritu similar, los físicos solían preocuparse por las soluciones de "energía negativa" que decaen hasta el infinito mediante la emisión de fotones. Por el mismo argumento de simetría, esto también debería ser un problema para los fotones. No me queda del todo claro cómo la cuantización del campo suprime este problema: ¿la "emisión de fotones" para el estado negativo se reinterpreta como absorción de fotones por un positrón?

Entiendo que toda la discusión sobre soluciones energéticas "positivas" o "negativas" es engañosa : lo que importa es el contenido físico a través del hamiltoniano de interacción QED, que no predice este descenso infinito. ¿Es esto correcto?

Edición: Creo que entiendo el origen de mi confusión después de los comentarios. Si lo entiendo bien, la imagen del mar de Dirac es equivalente a la libertad de elección en la energía del vacío formalmente infinita que se observa tras la cuantización del hamiltoniano de la QED. Los agujeros en el mar son positrones de energía positiva, equivalentes a la acción del operador de creación de positrones en el vacío. ¿Es esto correcto?

Answer 1

La simetría bajo la conjugación de cargas (que nos da positrones) y la simetría bajo el signo de la energía son dos cosas diferentes, que es donde creo que te estás confundiendo.

Los electrones de energía negativa no son positrones, son electrones de energía negativa. El ausencia de un electrón de energía negativa en el "mar de carga" puede verse como una partícula de energía positiva a través de la conjugación de carga, pero no convierte una partícula de energía negativa en una partícula de energía positiva.

Aquí hay dos convenciones: positrón/electrón, donde no existen estados de energía negativos, y electrones, donde hay estados de energía positivos y negativos.

Answer 2

La función de onda de cuatro componentes $\Psi$ en la ecuación de Dirac puede verse como una contrapartida de $\psi(x)$ en la ecuación de Schrödinger no relativista. La ecuación de Dirac puede escribirse (y, de hecho, fue escrita originalmente por Dirac) en la forma de Schrödinger $$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = H \Psi $$ donde $H=\vec\alpha\cdot \vec p + m\beta$ donde $\beta=\gamma_0$ y $\alpha_i=\gamma_i\gamma_0$ y $\vec p = -i\hbar \nabla$ . Así que las cuatro componentes se ven como cuatro "polarizaciones de espín" diferentes de la partícula y existe un operador hamiltoniano que está totalmente bien definido, incluyendo el signo. Este operador $H$ tiene estados propios con valores propios que pueden ser tanto positivos como negativos. A eso nos referimos cuando decimos que la energía puede ser tanto positiva como negativa. Eso es diferente del operador de energía no relativista $p^2/2m$ que nunca es negativo.

La ecuación libre de Dirac tiene soluciones para cualquier $E$ obedeciendo a $E^2=p_i^2 + m^2$ para ambos signos de $E$ . De hecho, las soluciones de signo contrario pueden obtenerse mediante un determinado procedimiento de conjugación compleja a partir de las positivas. Esta conjugación de cargas intercambia efectivamente componentes de $\Psi$ y $\Psi^*$ pero son totalmente independientes y están separadas en la ecuación de Schrödinger con la que empecé; esa ecuación sólo contiene $\Psi$ .

Los estados de energía negativa serían un problema porque la energía de un sistema no tendría límites desde abajo. En realidad, la Naturaleza encuentra su estado de energía más bajo y lo identifica con el "vacío". Este estado no tiene electrones en las soluciones de energía positiva de la ecuación de Dirac, pero las soluciones/estados/cajas de energía negativa están ocupadas por los números de ocupación máximos permitidos por la estadística de Fermi-Dirac, a saber $N=1$ . Una partícula ausente, es decir, un agujero en este "mar de Dirac" de electrones de energía negativa, se manifiesta como una partícula de energía positiva y carga positiva, el positrón.

Al final, cuando queremos describir electrones y positrones, pasamos a la teoría cuántica de campos. En ese marco, $\Psi$ que obedece a la ecuación de Dirac ya no es el vector de estado. Es un operador de campo. Cuando queremos construir vectores ket en el espacio de Hilbert multipartícula de la teoría cuántica de campos, lo obtenemos actuando sobre el vacío mediante combinaciones de $\Psi$ componentes si queremos añadir electrones o $\Psi^*$ si queremos añadir positrones. Nótese que el vector ket puede obtenerse tanto de $\Psi$ y su conjugado complejo aunque sólo $\Psi$ se consideraba "el ket" al principio de esta respuesta.