Construyendo $\mathbb N$ del conjunto de factoriales

Question

Sea S el conjunto $\{0!, 1!, 2!, \ldots\}$ . ¿Es posible construir cualquier número entero positivo utilizando sólo la suma, la resta y la multiplicación, y utilizando cualquier elemento de S como máximo una vez? Por ejemplo:

$$ 3 = 2! + 1!$$ $$ 4 = 3! - 2! = 2! + 1! + 0!$$ $$ 146 = 4!\cdot3! + 2!$$

etc. Mi instinto me dice que esto no es cierto, pero no veo por qué. Algo como 8076 no tiene una solución obvia, pero tal vez se puede obtener restando un factorial enorme del producto de dos factoriales más pequeños o algo así. O quizá haya una forma de encontrar conjuntos de factoriales que sumen/resten/multipliquen a 1, en cuyo caso cualquier número puede construirse así. He intentado encontrar algo pero no he tenido mucha suerte.

EDITAR: Oops, entero positivo, no número positivo.

Answer 1

Supongamos que sólo se puede utilizar $0! = 1!$ una vez. En ese caso, todos los factoriales pasados $4!$ son divisibles por $24$ , por lo que trabajar $\bmod 24$ los únicos números que se pueden utilizar son $1, 2, 6$ cada uno como máximo una vez, y estoy razonablemente seguro de que no se puede obtener ningún número congruente con $10 \bmod 24$ de esta manera.

Editar: Si desea utilizar ambos $0!$ y $1$ , entonces todos los factoriales pasados $5!$ son divisibles por $120$ , por lo que trabajar $\bmod 120$ los únicos números que se pueden utilizar son $1, 1, 2, 6, 24$ . Esta vez estoy razonablemente seguro de que no puedes conseguir ningún número congruente con $57 \bmod 120$ . Es una broma. Cada clase de conjugación $\bmod 120$ es alcanzable.

Bien, trabajando $\bmod 720$ los únicos números que se pueden utilizar son $1, 1, 2, 6, 24, 120$ ...

Answer 2

Relajando la restricción de utilizar cada factorial como máximo una vez, puede resultar útil lo siguiente. Para cada entero positivo $n$ hay un número entero positivo $k$ y $k$ números enteros positivos $\{c_1, \dots, c_k \}$ tal que $n$ tiene una representación única en el base factorial , \begin{align} n = \sum_{l = 1}^{k} c_{l} \ l!. \end{align}

Answer 3

Los números que se pueden construir son de la forma $\sum_{j=0}^nc_jj!$ con $c_j\in\{-1,\,0,\,+1\}$ . Imagina que quieres construir un número menor que $4165$ . Desde $7!-\sum_{j=0}^6j!=4166$ sólo se pueden utilizar los números $k!$ con $0\leq k\leq 6$ . Eso es $7$ números. Utilizando su fórmula se puede construir $3^7=2187$ números de esta manera. Tristemente, $2187<4165$ así que la respuesta es no.