$\lim_{x \to 0}\frac{2\mu(e^x(x^2-x+1)-1)-e^x(x^2-2x+2)+2}{x(2\mu(e^x(x-1)+1)-e^x(x-2)-2)}=\mu$

Question

Me gustaría pedir amablemente cualquier ayuda para mostrar por debajo del límite:

$$\lim_{x \to 0}\frac{2\mu(e^x(x^2-x+1)-1)-e^x(x^2-2x+2)+2}{x(2\mu(e^x(x-1)+1)-e^x(x-2)-2)}=\mu$$

He intentado utilizar la expansión de $e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+\mathcal{O}(x^4)$ pero sigo sin poder mostrarlo.

Answer 1

Sugerencia. En cuanto al denominador, basta considerar la expansión $e^x=1+x+o(x)$ es $$\begin{align} 2\mu(e^x(x-1)+1)&-e^x(x-2)-2\\&=2\mu((1+x+o(x))(x-1)+1)-(1+x+o(x))(x-2)-2\\&=x+o(x).\end{align}$$ Dado que el denominador es $x^2+o(x^2)$ para el numerador considere la expansión más larga $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\frac{2\mu(e^x(x^2-x+1)-1)-e^x(x^2-2x+2)+2}{x(2\mu(e^x(x-1)+1)-e^x(x-2)-2)}=\frac{[(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x+(2\mu-2)]e^x-(2\mu-2) }{[(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x]e^x+(2\mu-2)x}=\frac{ [(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x]e^x +(2\mu-2)x +(2\mu-2)e^x-(2\mu-2)x-(2\mu-2)}{ [(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x]e^x+(2\mu-2)x }=\\=1+(2\mu-2)\frac{ e^x-x-1}{ [(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x]e^x+(2\mu-2)x }=\\=1+(2\mu-2)\frac{ {e^x-x-1}}{ [(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x]e^x+(2\mu-2)x }\to 1+(2\mu-2)\cdot \frac12=\mu$$

en efecto

$$\frac{ {e^x-x-1}}{ [(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x]e^x+(2\mu-2)x }=\\=\frac{ {e^x-x-1}}{x^2}\frac{x}{ [(2\mu-1)x-(2\mu-2)]e^x+(2\mu-2) }\to \frac12\cdot 1=\frac12$$

de hecho por $e^x=1+x+\frac12x^2+o(x^2)$

$$\frac{ {e^x-x-1}}{x^2}=\frac12 + o(1) \to \frac 12$$

y por $e^x=1+x+o(x)$

$$\frac{x}{ [(2\mu-1)x-(2\mu-2)]e^x+(2\mu-2) }=\frac{x}{ (2\mu-1)x+(2\mu-1)x^2-(2\mu-2)x+o(x)}=\frac{1}{1+(2\mu-1)x+o(1)}\to 1$$