Ayuda para demostrar que una cadena de Markov con una matriz doblemente estocástica tiene una distribución límite uniforme

Question

Tengo mucha dificultad con las pruebas; ¿podría alguien ayudarme con esta pregunta que realmente no puedo resolver? También me gustaría alguna indicación de material para superar este tipo de preguntas y alguna pista de material sobre la cadena de Markov. Gracias de antemano.

"Una matriz estocástica se denomina doblemente estocástica si sus columnas suman 1. Sea $X_0 , X_1, \dots$ sea una cadena de Markov en $\{1,\dots, k\}$ con una transición doblemente estocástica y una distribución inicial uniforme en $\{1, \dots, k\}.$ Demuestre que la distribución de $X_n$ es uniforme en $\{1.\dots, k\},$ para todos $n \ge 0."$

Answer 1

$X_1=X_0P$ donde $P$ es la matriz de transición. Como $X_0=[1/k,\ldots,1/k]$ se tendría $X_1^i=\frac{1}{k}(P_{2i}+P_{1i}+\ldots+P_{ki})=\frac{1}{k}$ por la propiedad estocástica doble (la suma de las entradas en las columnas es $1$ ). El resultado general se obtiene por inducción.

Answer 2

Si una cadena de Markov con espacio de estados $\{1, 2, \dots, k\}$ es ergódica entonces su distribución estacionaria es su distribución límite. Según leo su pregunta, parece que está intentando demostrar que una cadena con una matriz doblemente estocástica tiene una distribución estacionaria uniforme en en el espacio de estados.

Está utilizando la convención de que el elemento $p_{ij}$ para $1 \le i,j \le k,$ de la matriz de transición $\mathbf{P}$ tiene $p_{ij} = P(X_n = j | X_{n-1} = i).$ Sea el vector $\sigma = (\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_k).$ Si $\sigma$ es uniforme, entonces $\sigma_i = 1/k,$ para $i = 1, \dots, k.$ $$\sigma_i\mathbf{P} = \sum_{j=1}^k \frac 1 k p_{ij} = \frac 1 k\sum_{j=1}p_{ij} = \frac 1 k(1) = \frac 1 k,$$

donde la última igualdad se debe a la propiedad doblemente estocástica de la matriz de transición. El argumento para todos los $i = 1, \dots k$ es el mismo por lo que $\sigma\mathsf{P} = \sigma,$ y $\sigma$ es una distribución estacional.

Si su pregunta no está cubierta por esta respuesta y la respuesta de @Momo (+1), por favor explicar qué parte no entiende, y tal vez alguien aquí puede ayudar.