Puede $\sum_{i=1}^N \mathbf r_i^T \big (\sum_{j=1}^N \mathbf r_j \mathbf r_j^T \big)^{-1} \mathbf r_i$ simplificarse?

Question

Sea $\{\mathbf r_i \in \mathbb R^n \}_{i=1\dots N}$ sean algunos vectores columna linealmente independientes. Creo que debe ser posible simplificar la expresión

$$ \sum_{i=1}^N \mathbf r_i^T \big (\sum_{j=1}^N \mathbf r_j \mathbf r_j^T \big)^{-1} \mathbf r_i, $$

a una constante, sin embargo no estoy seguro.

Nótese que el término entre corchetes es un rango- $N$ matriz. Aquí se puede asumir con seguridad que $N > n$ para que exista la inversa.

¿Puede reducirse esta expresión a una constante? Por favor (des)demuestre o proporcione una condición.

Answer 1

Su cantidad (la llamaré $Q$ ) es un número, pero considérelo como la traza de la matriz $\sum r_i^T M^{-1} r_i$ donde $M=\sum r_i r_i^T$ . Pero $\operatorname{tr} (AB)=\operatorname{tr} (BA),$ así que $$Q = \operatorname{tr} \left(M^{-1} \sum r_i r_i^T \right)= \operatorname{tr} (M^{-1} M) = \operatorname{tr} I = n.$$