En $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X|f_n-f|d\mu=0$ implica $\lim_{n\rightarrow\infty}|f_n-f|=0$ ?

Question

Supongamos que $(X,M,\mu)$ es un espacio medible, $g_n,g,f_n,f\in L^1(X,R)$ si $|g_n(x)|\leq f_n(x)$ y $g_n\rightarrow g$ puntualmente, si $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X|f_n-f|d\mu=0,$$ ¿implica eso $$\lim_{n\rightarrow\infty}|f_n-f|=0$$

Answer 1

No. $X=[0,1]$ con conjuntos de Borel y medida estándar de Lebesgue. Consideremos la sucesión de funciones indicadoras:

$$\Bbb{1}_{[0,1/2]},\Bbb{1}_{[1/2,1]},\Bbb{1}_{[0,1/3]},...$$

Este es un bache de viaje y claramente $\int_{[0,1]} f_n(x) dx\to 0$ pero cada punto va y viene entre $0$ y $1$ . Así que esto converge en NINGUNA PARTE pero converge en $L^1$ .

Como nota al margen, $(X, M, \mu)$ es un espacio de medidas. Un espacio medible es sin la medida real.

Editar No entiendo tu edición. Deja que $g_n(x)=0$ . $g_n(x)$ no ayudará en nada.