Sea ${\mathbf{b}}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ sea un campo vectorial suave. Sea ${\mathbf{x}}(t)\in \mathbb{R}^n$ satisfacer $$ d \mathbf{x}(t) = \mathbf{b}(\mathbf{x}(t))dt + d\mathbf{W}_t $$ donde $\mathbf{W}_t\in \mathbb{R}^n$ es un $n$ -movimiento browniano dimensional. ¿Cuál es la EDE para $x(t):= |\mathbf{x}(t)|$ ? Desde $|\cdot|$ no es suave en el origen, ¿debe modificarse con un término de tiempo local?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En dimensión $n=1$ En este caso, hay que tener cuidado con el origen, por lo que hay que utilizar la fórmula de Tanaka en lugar de la de Ito, que sí da un término de tiempo local: $$|x(t)|=|x(0)|+\int_0^t\text{sgn}(x(s))dW_s+\int_0^t\text{sgn}(x(s))b(x(s))ds+\frac{1}{2}L^0_t(x)$$
En dimensiones $n \ge 2$ demostraremos que el proceso $\bf x$ casi seguro nunca llega al origen después de un tiempo $0$ por lo que no necesita ninguna modificación y puede aplicar la fórmula de Ito como de costumbre. Para demostrar esto, mostraremos que la ley de $(\mathbf x(t))_{t \in [0,T]}$ es absolutamente continua con respecto a la ley de $(\mathbf W(t))_{t \in [0,T]}$ para cualquier horizonte temporal fijo $T \geq 0$ . Esto implicaría que $\bf x$ nunca llega al origen, porque es bien sabido que $\bf W$ nunca llega al origen en las dimensiones $d \ge 2$ .
Sea $(\mathbf W(t))_{t \in [0,T]}$ sea un movimiento browniano que parte de $\mathbf x(0)$ . Definimos una martingala local $$M_t:= \int_0^t \mathbf b(\mathbf W(s)) \cdot d \mathbf W(s),\;\;\;\;\;\; 0 \leq t \leq T$$ donde el $\cdot$ denota el producto punto habitual. Supondremos que $\bf b$ está acotada y es de Lipchitz, por lo que $M$ y su exponencial $\mathcal E(M)$ son en realidad martingalas, y $\bf x$ existe realmente para siempre.
Sea $\nu$ y $\mu$ denotan las leyes de $(\mathbf x(t))_{t \in [0,T]}$ y $(\mathbf W(t))_{t \in [0,T]}$ respectivamente. Se trata de medidas de probabilidad consideradas en el espacio $C([0,T], \Bbb R^n)$ dotado de su Borel $\sigma$ -álgebra.
Afirmo que existe una fórmula explícita para la derivada de Radon-Nikodym, a saber \begin{equation}\frac{d\nu}{d\mu} (\mathbf W(t))_{t \in [0,T]} = e^{M_T-\frac{1}{2}\langle M \rangle_T} \tag{1}\end{equation} lo que tiene sentido porque $M_t$ es un proceso adaptado a la filtración natural de $\bf W$ (es decir, $M$ es una función determinista de $\bf W$ ).
Prueba de la fórmula (1): Esto es básicamente un uso del teorema de Girsanov. A saber, definir $Q$ es la medida de probabilidad sobre $\mathcal F_T$ dada por $$Q(A)=E_P[1_A \cdot e^{M_T-\frac{1}{2}\langle M \rangle_T}].$$ Escriba a $\mathbf W=(W^1,W^2,...,W^n)$ y análogamente para $\bf b$ . Por el teorema de Girsanov, para cada $1 \leq i \leq n$ el proceso $$W^i_t-\langle W^i,M \rangle_t = W^i_t - \int_0^t b^i(\mathbf W(s))ds =: B^i_t $$ es un $Q$ -martingala local. Además, es fácil comprobar que $$\langle B^i,B^j \rangle_t=\delta_{ij}t.$$ Así que por el teorema de caracterización de Levy, concluimos que $\mathbf B=(B^1,...,B^n)$ es en realidad un movimiento browniano (que parte de $\mathbf x(0)$ desde $\mathbf W$ también se inició desde $\mathbf x(0)$ ), con respecto a $Q$ . Además $W$ resuelve la SDE $$d\mathbf W_t = \mathbf b( \mathbf W(t))dt+ d \mathbf B_t,$$ que es la misma forma de la SDE que $\mathbf x$ resuelve. Así que por unicidad en la ley en realidad concluimos que $\mathbf W$ se distribuye igual en $Q$ como $\mathbf x$ está bajo $P$ y, por tanto, para cualquier medida acotada $f:C[0,1] \to \Bbb R$ tenemos $$E_P[f(\mathbf x)] = E_Q[f(\mathbf W)] = E_P [f(\mathbf W) e^{M_T-\frac{1}{2} \langle M \rangle_T}]$$ lo que demuestra la ecuación $(1)$ .
