Series de potencias de la relación de funciones Gamma

Question

Sea $a>1$ y definir $G_a(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{\Gamma(\frac{2n+1}{a})}{\Gamma(2n+1)\Gamma(\frac{1}{a})}x^n$ donde $\Gamma$ es la función Gamma. Esta serie es convergente en $\mathbb{R}$ gracias a una prueba de relación y a la fórmula de Stirling.

Para $a=2$ utilizando la fórmula de duplicación de Legendre $\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2}) = 2^{1-2z} \Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(2z)$ con $z=n+\frac{1}{2}$ muestra que $G_2(x) = e^{\frac{x}{4}}$ .

¿Podemos obtener una fórmula algo explícita para otros valores enteros de $a$ o incluso para valores reales arbitrarios $a>1$ ? ¿Se ha estudiado esta serie en alguna parte?

Para contextualizar, estoy calculando la transformada de Laplace de distribuciones gaussianas generalizadas [1], es decir, sus densidades logarítmicas son $\propto -\lvert x\rvert^{a}$ (de ahí el caso $a=2$ corresponde a las medidas gaussianas habituales). La serie de potencias anterior está relacionada con la función generadora de momentos de dichas distribuciones.

Probé un poco suerte con funciones hipergeométricas y el teorema de la multiplicación de la función Gamma (generalización de la fórmula de duplicación) para valores enteros pequeños de $a$ pero no lo consiguió.

Referencias: [1] https://jsdajournal.springeropen.com/track/pdf/10.1186/s40488-018-0088-5.pdf

Answer 1

Existen expresiones cerradas para todos los valores enteros de $a$ para $a=\{1,2,3,4\}$ estos leen _{<span class="math-container">$$\left{\frac{1}{1-x},e^{x/4},\frac{1}{6\Gamma(1/3)}\left[3 x \, _1F_4\left(1;\frac{2}{3},\frac{5}{6},\frac{7}{6},\frac{4}{3};\frac{x^3}{11664}\right)+2\pi\ 3^{2/3} \left(\text{Bi}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{3}}\right)+\text{Bi}\left(-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{3}}\right)\right)\right],\right.$$</span> <span class="math-container">$$\left.\, _0F_2\left(;\frac{1}{2},\frac{3}{4};\frac{x^2}{256}\right)+\frac{\Gamma \left(3/4\right)}{2\Gamma(1/4)}x \, _0F_2\left(;\frac{5}{4},\frac{3}{2};\frac{x^2}{256}\right)\right}$$</span>} se alargan cada vez más para los enteros más grandes $a$

Answer 2

Para un real arbitrario $a > 0$ se trata de un caso especial de la $_p\Psi_q(A;B;)$ Función Fox-Wright, donde $A=[(a_1,\alpha_1),(a_2,\alpha_2),...,(a_p,\alpha_p)]$ y $B=[(b_1,\beta_1),(b_2,\beta_2),...,(b_q,\beta_q)]$ en $a_j, j=1,..,p$ y $b_k, k=1,..,q$ parámetros complejos y $\alpha_j, \beta_k$ son positivos. $$_p\Psi_q(A;B;)=\sum_{n=0}^\infty \frac{^n}{n!}\frac{\prod_{j=1}^{p}\Gamma(a_j+\alpha_jn)}{\prod_{k=1}^{q}\Gamma(b_k+\beta_kn)}$$ Ninguna función gamma en el numerador es singular. Esto significa que $$a_{j}+_{j}m-,$$ con $j=1,2,..,p ,m$ . La convergencia de la serie depende de $\kappa, \rho, $ $$=_{j=1}^{q}_{j}-_{j=1}^{p}_{j}+1$$ $$=_{j=1}^{p}_{j}^{-_{j}}_{j=1}^{q}_{j}^{_{j}}$$ $$=½(q-p)+_{j=1}^{p}a_{j}-_{j=1}^{q}b_{j}$$ Si $>0$ la serie tiene un radio de convergencia infinito y $_p\Psi_q()$ es una función entera. La serie es uniforme y absolutamente convergente para todo finito $$ . Si $<0$ la suma es divergente para todos los valores distintos de cero de $$ mientras que para $=0$ la serie de funciones tiene un radio de convergencia finito $$ . Convergencia en la frontera $||=$ depende del parámetro $$ convergen absolutamente si $()<-½$ .

Para |arg $(-)$$ |<-$ la integral de Mellin-Barnes $$_{p}_{q}()=\frac{1}{2i}\int_{L}\Gamma(s)\frac{\prod_{j=1}^{p}\Gamma(a_{j}-_{j}s)}{\prod_{k=1}^{q}\Gamma(b_{k}-\beta_{k}s)}(-)^{-s}ds$$ define una representación más amplia de la función Wright. $L$ es un contorno que separa los polos de $\Gamma(s)$ a la izquierda de los de $\Gamma(a_{j}-_{j}s)$ a la derecha. Para el contorno $L$ pasando de $-i\infty$ hasta $+i\infty$ (posiblemente no paralela al eje vertical) esta integral proporciona una continuación analítica de $_{p}_{q}()$ en $\backslash [,)$ cuando $ =0$ .

Esta función es un caso especial de la función FoxH, (Ver los sitios de Wiki o Wolfram) $$_p\Psi_q(A;B;)=H_{1+q,p}^{p,1}((1,1),B;A;-^{-1})$$ En este caso concreto $A=[(1,1),(1/a,2/a)]$ y $B=[(1,2)]$ . Así $G_a$ es la función $$G_a(x)=\frac{_2\Psi_1([(1,1),(1/a,2/a)];[(1,2)];x)}{\Gamma(1/a)}$$ $$G_a(x)=\frac{H_{2,2}^{2,1}([[(1,1)],[(1,2)]];[[(1,1),(1/a,2/a)],[\cdot]];-x^{-1})}{\Gamma(1/a)}$$ Puedes establecer esta expresión utilizando la función FoxH en Mathematica v13.0 de Wolfram en modo simbólico para ver si existen algunas fórmulas explícitas para otros valores del parámetro $a$ . Sugiero probar con $a=1/m$ donde $m$ es un número entero positivo