¿Toda función inyectiva debe ser no monótona?

Question

¿Es necesario, para que una función sea inyectiva (unívoca) en todos los puntos de su dominio, que estrictamente no sea monótona en ningún punto de su dominio?

Creo que esto debería ser cierto, porque una función inyectiva debería tener una salida única asociada a cada entrada, lo que no es válido para una función monótona. ¿Estoy en lo cierto? Por favor, corregidme si estoy equivocado. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Suponiendo que $f$ es continua (una función inyectiva no continua puede dar todos los saltos que quiera) entonces una función inyectiva debe ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente (porque si no estaría "doblando hacia atrás" sobre sí misma--podemos hacer una prueba de cálculo pero ... es esencialmente sólo ese argumento intuitivo; si es decreciente en algún intervalo pero creciente en otro debe estar pasando por los mismos puntos al menos dos veces).

Sin embargo, pareces estar confundido sobre lo que significa "monotónico". El comportamiento que acabamos de describir es exactamente qué monotónico hace media y una función continua inyectiva debe sea monótona.

(Suponiendo que la función sea continua) entonces monótona significa que la derivada no cambia de signo. Por lo tanto, la derivada es siempre no negativa o siempre no positiva. Si la derivada es siempre $\ge 0$ entonces la función nunca puede ser decreciente por lo que decimos que es monotónicamente no decreciente . Si la derivada es siempre $\le 0$ entonces la función nunca puede ser creciente por lo que decimos que es monotónicamente no creciente .

Creo que tu confusión viene de que estas funciones sí permiten intervalos en el dominio donde la función es "plana", tiene derivada de $0$ es constante. Estas funciones monótonas no pueden ser inyectivas. Para ser inyectiva la función debe ser de tipo más fuerte tipo de monotonía.

Si la función no puede tener un $0$ para cualquier número entero medible, entonces no es simplemente no decreciente o no creciente, es activamente aumentando o disminuyendo activamente.

Si la función es continua y la derivada es $\ge 0$ y la derivada nunca es $0$ en un intervalo medible del dominio, concluimos que la función es monotónicamente creciente . Obsérvese el aumento monotónico $\implies $ monotónicamente no decreciente. Monotónicamente no decreciente es una condición más débil y monotónicamente creciente es una más fuerte.

Lo mismo ocurre si la derivada es $\le 0$ pero nunca en un intervalo: Eso se llama monotónicamente disminuyendo. Y monotónicamente decreciente $\implies$ monotónicamente no creciente.

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[Nota: se trata de consecuencias equivalentes de que la función sea continua y no de definiciones reales. ]