Distribución del número de veces que un jugador gana una partida con números aleatorios

Question

Se distribuyen aleatoriamente cinco números distintos a los jugadores numerados $1$ a través de $5$ . Siempre que dos jugadores comparen sus números, el que con el más alto es declarado ganador. Inicialmente, los jugadores $1$ y $2$ comparan sus números; el ganador compara entonces con el jugador $3$ , etc. Sea $X$ denota el número de veces que el jugador $1$ es ganador. Visite $$P(X = i), \quad \text{ for }\ i = 0, 1, 2, 3, 4$$

Answer 1

En lo sucesivo denotaré los números que se distribuyen con $1,2,3,4$ y $5$ ya que lo único que importa es su orden y no sus valores exactos. En total, hay $5!=120$ formas de distribuir estas cifras entre los $5$ Jugadores, siendo cada una de estas formas igualmente probable. Entonces, $$P(X=i)=\frac{\text{ways in which Player 1 wins exactly $ i $ games}}{120}$$ para $i=0,1,2,3,4$ .

1. $i=4$ . Este es el caso más sencillo, ya que Player $1$ puede ganar todo $4$ comparaciones si y sólo si tiene el número más alto y los demás números se distribuyen aleatoriamente entre los demás, es decir $$P(X=4)=\frac{1\cdot4!}{120}=\frac{24}{120}$$
2. $i=3$ . Para el jugador $1$ para ganar exactamente $3$ (y, por tanto, se pierde el $4$ -ésima y última comparación) debe tener el segundo número más alto, y el Jugador con el número más alto debe ser el Jugador $5$ . Esto sólo da $1$ elección del número de Jugadores $1$ y $5$ y el otro $3$ Los números pueden distribuirse aleatoriamente entre los $3$ Jugadores restantes, por lo tanto $$P(X=3)=\frac{1\cdot3!\cdot1}{120}=\frac{6}{120}$$
3. $i=2$ . Me ahorraré ésta, porque es la más engorrosa. Pasaré a $i=1$ y $i=0$ y utilizar el hecho de que todas las probabilidades deben sumar $1$ y volver a encontrar esto por complementariedad.
4. $i=1$ . Para el jugador $1$ para ganar exactamente $1$ (y por lo tanto perder la segunda comparación) debe tener un número más alto que el Jugador $2$ y un número inferior a Jugador $3$ . Esto puede ocurrir de las siguientes maneras (notación (nº de Jugador $1$ / nº de Jugador $2$ / nº de Jugador $3$ ): $(2/1/3-4 \text{ or } 5)=3$ maneras, $(3/1 \text{ or }2/ 4 \text{ or }5)=4$ maneras, $(4/ 1,2 \text{ or }3/ 5)= 3$ formas. Para cualquiera de estas formas debemos multiplicar con $2!$ para cubrir las dos últimas plazas. Así que, en total, esto da $$P(X=1)=\frac{10\cdot2!}{120}=\frac{20}{120}$$
5. $i=0$ . Jugador $1$ ganará exactamente $0$ comparaciones si tiene un número menor que Jugador $2$ . Por lo tanto, las posibles formas de que esto ocurra son: $(1/ \text{ any })= 4$ maneras, $(2/3,4 \text{ or } 5)=3$ maneras, $(3/ 4 \text{ or }5)=2$ formas y $(4/ 5)=1$ camino. Para cada una de estas formas debemos multiplicar con $3!$ para las formas de distribuir el resto de los números a los Jugadores $3$ a $5$ . Por lo tanto, esto da $$P(X=0)=\frac{10\cdot3!}{120}=\frac{60}{120}$$ Entonces, por complementariedad $$P(X=2)=1-P(X\neq 2)=\frac{120-24-6-20-60}{120}=\frac{10}{120}$$