¿Utilizando el método de iteración de punto fijo?

Question

Pregunta: $x\sin x=50$ la raíz se encuentra entre el intervalo [51,52]

considere, $$x\sin x=50$$ $$x=\arcsin (50/x)=g(x)$$ ahora, comprobamos $|g'(x)|<1 $ desde entonces, $\arcsin (50/x)=g(x)$ $$g'(x)=1/[1-(50/x)^2]^{1/2} (-50/x^2)\\ |g'(x)|=|50/[x(x^2-2500)^{1/2}]|$$ dejar aquí $x=52$ $$|g'(x)|=|50/[52(2704-2500)^{1/2}]|\\ |g'(x)|=0.0673<1$$ ahora por el método de iteración de punto fijo, $$x_{n+1}=g(x_n)$$ deje $x_{o}=51.5$ $$x_1=\arcsin (50/x_{o})=1.1.3288$$ el valor de mi $x_{1}$ no se encuentra en el intervalo $[51,52]$ por favor ayúdenme a señalar mi error en la solución.

Answer 1

La rama principal de $\arcsin$ tiene valores comprendidos entre $-\frac\pi2$ y $\frac\pi2$ . Para llegar a cualquier otra rama hay que desplazarse en múltiplos de $\pi$ y cada dos intervalos tiene que ser reflejado.

Desde $51.5/\pi=16.39295913846522$ y $$ [15.5\pi,16.5\pi] \simeq [48.69468613064179,\,51.83627878423159] $$ cubre la mayor parte del intervalo dado, la fórmula de punto fijo que probablemente producirá una solución es $$ g(x)=16\pi+\arcsin(50/x). $$

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prueba breve en python

In [12]: x=51.5;
In [13]: for k in range(15): x=16*pi+asin(50/x); print "%.20f" % x

51.59433370146560804415
51.58703269445761208090
51.58758931983782503039
51.58754683447086364367
51.58755007695501859644
51.58754982948691036881
51.58754984837379709006
51.58754984693234035831
51.58754984704235369009
51.58754984703395507495
51.58754984703459456341
51.58754984703455193085
51.58754984703455193085
51.58754984703455193085
51.58754984703455193085