Cómo calcular $\mathbb P( 3 X_{(1)} \geq X_{(2)}+X_{(3)})$ para el fin de estadísticas de una distribución uniforme?

Question

Estoy tratando de resolver un problema para mi tesis y no veo cómo hacerlo. Tengo 4 observaciones tomadas al azar de un uniforme de $(0,1)$ distribución. Quiero calcular la probabilidad de que $3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$. $X_{(i)}$ es la i-ésima orden de estadística (me tome el fin de estadística para que mis observaciones se clasifican de menor a mayor). Me ha resuelto un caso más sencillo, pero aquí estoy perdido a cómo hacerlo.

Toda la ayuda será bienvenida.

Answer 1

Escribir el orden de las estadísticas $(x_1,x_2,x_3,x_4)$, $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$. Comenzar por señalar que $x_1 \le x_2$ implica

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

Este último evento se rompe en dos distintos eventos dependiendo de $x_2$ $(x_2+x_3)/2$ es la mayor:

$$\eqalign{ \Pr[x_1, \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

Debido a que la distribución conjunta es uniforme en el conjunto $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$, con densidad de $4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$,

$$ \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4} $$

y

$$ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}. $$

(Cada integrante es sencillo de realizar como una integral iterada; sólo polinomio integraciones están involucrados.)

El deseado de probabilidad por lo tanto es igual a $1 - (1/4 + 7/12)$ = $1/6$.

Editar

Una solución más inteligente (que simplifica el trabajo) se deriva del reconocimiento de que al $y_j$ han iid distribuciones Exponenciales, $1\le j\le n+1$, entonces (escrito $y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $), de la escala de sumas parciales

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

$1\le i\le n$, se distribuyen como el uniforme de estadísticas de orden. Debido a $Y$ es casi sin duda positivo, se deduce fácilmente que para cualquier $n\ge 3$,

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1} de{Y}\ge\frac{y_1+y_2} de{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3} de{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$