¿Es un conjunto acotado en toda métrica para una uniformidad acotada en la uniformidad?

Question

Esta es una continuación de mi pregunta aquí . Un subconjunto $A$ de un espacio uniforme se dice que está acotado si para cada entorno $V$ , $A$ es un subconjunto de $V^n[F]$ para algún número natural $n$ y algún conjunto finito $F$ . Se dice que un subconjunto de un espacio métrico está acotado si está contenido en alguna bola abierta. Ahora esta respuesta muestra que si $U$ es la uniformidad inducida por una métrica $d$ es un conjunto limitado con respecto a $U$ también está limitada con respecto a $d$ pero lo contrario no tiene por qué ser cierto.

Pero me interesa saber si algo más débil es cierto. Supongamos que $(X,U)$ es un espacio uniforme metrizable, y $A$ es un subconjunto de $X$ que está limitada con respecto a cada métrica que induce $U$ . Entonces es $A$ limitado con respecto a $U$ ?

Dicho de otro modo, ¿es la colección de conjuntos acotados con respecto a una uniformidad metrizable igual a la intersección de las colecciones de conjuntos acotados con respecto a cada una de las métricas para la uniformidad?

Answer 1

Fijar un conjunto $A$ y un séquito $V$ presenciando que $A$ no está acotada con respecto a la uniformidad. Por tanto, para todo $n,F$ tenemos $A\not\subseteq V^n[F].$ Necesitamos construir una métrica para la uniformidad en la que $A$ no está acotada.

Se nos da una métrica $d$ para la uniformidad, y podemos suponer que $V=\{(a,b)\mid d(a,b)<\epsilon\}$ para algunos $\epsilon>0.$ Defina $a\sim b$ si hay un camino $a=x_0,x_1,\dots,x_n=b$ con $d(x_i,d_{i+1})<\epsilon$ para cada $0\leq i<n.$ La idea básica de este argumento (véase el argumento en torno a (*) a continuación) es que $A$ no está contenida en ninguna unión finita de bolas del ampliado métrico $d'$ definida como métrica del camino por

• $d'(a,b)=\inf\left\{\sum_{i=0}^nd(x_i,x_{i+1})\mid x_0=a, x_n=b, d(x_i,x_{i+1})<\epsilon\right\}$ si $a\sim b$
• $d'(a,b)=\infty$ de lo contrario.

El problema es que $d'$ puede tomar valores infinitos, por lo que no es una métrica.

Elija un elemento $t_C$ en cada clase de equivalencia $C\in X/\sim$ (utilizando el axioma de elección).

Caso 1. $A$ intersecta infinitas clases en $X/\sim.$

Por el axioma de elección existe una secuencia $C_1,C_2,\dots$ de clases de equivalencia distintas que se cruzan $A.$ Defina $f:(X/\sim)\to\mathbb N$ tal que $f(C_i)=i$ y $f(C)=1$ si $C$ no es igual a ningún $C_i.$ Definir una métrica $d''$ por:

• $d''(a,b)=d'(a,b)$ si $a\sim b$
• $d''(a,b)=d'(a,t_C)+\max(1,|f(C)-f(C')|)+d'(t_{C'},b)$ si $a\in C$ y $b\in C'$ donde $C,C'\in X/\sim$ son clases de equivalencia disjuntas

Afirmo que $d''$ es una métrica para la uniformidad en la que $A$ no está acotada. Supongamos que no, entonces existe $x,r$ tal que $d''(a,x)<r$ para todos $a\in A.$ Para grandes $i$ tenemos $i>r+f([x])$ donde $[x]$ es la clase de equivalencia de $x.$ Existe $a\in C_i\cap A,$ pero entonces $d''(a,x)>r$ lo que contradice la elección de $r.$

Caso 2. $A$ se cruza con un número finito de $\sim$ -clases de equivalencia.

Defina $d''$ de la misma manera pero con $f$ constante, por lo que

• $d''(a,b)=d'(a,b)$ si $a\sim b$
• $d''(a,b)=d'(a,t_C)+1+d'(t_{C'},b)$ si $a\in C$ y $b\in C'$ donde $C,C'\in X/\sim$ son clases de equivalencia disjuntas

Afirmo que $d''$ es una métrica para la uniformidad en la que $A$ no está acotada.

Debe haber alguna clase $C\in X/\sim$ tal que para todo $n,F$ tenemos $A\cap C\not\subseteq V^n[F].$ (Supongamos que no; para cada $C$ intersección $A$ hay $n_C,F_C$ con $A\cap C\subseteq V^{n_C}[F_C],$ pero entonces $A\subseteq V^{\max n_C}[\bigcup F_C]$ lo que contradice la definición de $V.$ )

Supongamos que $A\cap C$ se encuentra en el $d''$ -bola de radio $r$ en torno a $a\in X.$ Si $a\notin C,$ sustitúyalo por $t_C$ - la pelota seguirá conteniendo $A\cap C$ ya que la distancia desde cualquier punto de $C$ a $t_C$ es menor que su distancia a cualquier punto que no esté en $C.$ Elige un número entero $N>2r/\epsilon+1.$ Sabemos que $A\cap C\not\subseteq V^N[\{x\}],$ lo que implica que hay un punto $b\in (A\cap C)\setminus V^N[\{x\}].$

Considere una lista $a=x_0,x_1,\dots,x_n=b$ con cada $d(x_i,x_{i+1})<\epsilon$ y $\sum_{i=0}^nd(x_i,x_{i+1})<r.$ Si dos distancias consecutivas cualesquiera $d(x_i,x_{i+1}),d(x_{i+1},x_{i+2})$ suman menos de $\epsilon$ podemos eliminar el elemento central $x_{i+1}$ para obtener una lista más corta con las mismas propiedades. Finalmente obtenemos una lista en la que cada dos distancias consecutivas suman al menos $\epsilon.$ Por lo tanto

$$(n-1)\epsilon\leq\sum_{i=0}^{n-2}(d(x_{i},x_{i+1})+d(x_{i+1},x_{i+2}))<2r\tag{*}$$

así que $n<2r/\epsilon+1<N.$ Pero eso implica $b\in A\cap C\setminus V^N[\{x\}],$ contradiciendo la elección de $b.$

Por último, tenga en cuenta que $d,d',$ y $d''$ (para ambos casos) definen la misma uniformidad ya que para $\alpha<\min(1,\epsilon)$ tenemos $$\{(a,b)\mid d(a,b)<\alpha\}=\{(a,b)\mid d'(a,b)<\alpha\}=\{(a,b)\mid d''(a,b)<\alpha\}.$$

Answer 2

Ayer me quedé sin conexión a Internet, así que escribí mi respuesta fuera de línea y no vi similer Dap's responder .

La respuesta es afirmativa. Supongamos que $A$ no tiene límites. Entonces existe un séquito sintomático $V_1\in\mathcal U$ tal que para cada subconjunto finito $F$ de $X$ y cada número natural $n$ , $A\not\subset V^n_1[F]$ .

Elija una base $\{V_i\}$ , $n\ge 2$ de la uniformidad $\mathcal U$ formado por séquitos simétricos tales que $V^3_{i+1}\subset V_i$ para cada $i\ge 1$ . Para cada $n\le 0$ poner $V_i=V_1^{3^{1-i}}$ .

Para construir una métrica $\rho$ en el que $A$ no está contenida en ninguna bola formulamos una contrapartida no acotada de un Teorema fundamental 8.1.10 de la "Topología general" de Engelking (2ª ed.).

Lema. Para cada secuencia $\{V_i:i\in\Bbb Z\}$ de miembros simétricos de una uniformidad $\mathcal U$ en un conjunto $X$ donde $V^3_{i+1}\subset V_i$ para cada $i$ existe una función $\rho$ en el plató $V=\bigcup V_i$ tal que

(i) Para cada $x\in X$ tenemos $(x,x)\in V$ y $\rho(x,x)=0$ .

(ii) Para cada $(x,y)\in V$ tenemos $(y,x)\in V$ y $\rho(x,y)=\rho(y,x)$ .

(iii) Para cada $(x,y),(y,z)\in V$ tenemos $(x,z)\in V$ y $\rho(x,z)\le \rho(x,y)+ \rho(y,z)$ .

(iv) Para cada $i$ tenemos $\{(x,y):\rho(x,y)<1/2^i\}\subset V_i\subset \{(x,y):\rho(x,y)\le 1/2^i\}.$

La demostración del lema es casi la misma que la del teorema 8.1.10, así que nos la saltamos.

Obsérvese que las condiciones (i)-(iii) implican que $V$ es una relación de equivalencia. Sea $\widehat V$ sea el conjunto de clases de la relación $V$ . Para cada clase $[x]\in \widehat V$ elija un punto $p[x]\in [x]$ . Sea $[A]=\{[x]\in V: [x]\cap A\ne\varnothing\}$ . Definir una función $f: \widehat V \to\Bbb N$ tal que $f\equiv 1$ si $[A]$ es finito, y $f|[A]$ es ilimitado, en caso contrario.

Por último, para cada $x,y\in X$ poner $$\rho’(x,y)=\cases{\rho(x,y), \mbox{ if }(x,y)\in V,\\ 1+|f([x])- f([y])|+\rho(x, p[x])+ \rho(y,p[y]), \mbox{ otherwise}.}$$

Es fácil comprobar que $\rho’$ es una métrica en $X$ . Desde y $r(x,y)\le 1/2$ si $r’(x,y)\le 1/2$ para cada $x,y\in X$ la métrica $\rho’$ induce la uniformidad $\mathcal U$ en el plató $X$ .

Sea $a\in X$ sea un elemento cualquiera. Si $[A]$ es finita, existe una clase $[x]\in \widehat V$ tal que $A\cap [x]\not\subset V^n_1[p[x]]$ para cada número natural $n$ . La condición (iv) del Lemma implica que un conjunto $\rho(A,p[x])$ es ilimitado, por lo que un conjunto $\rho’(A,a)$ también es ilimitada. Si $[A]$ es infinito entonces $f|[A]$ es ilimitado, por lo que un conjunto $\rho’(A,a)$ también es ilimitada.