Entonces la pregunta es: ¿Por qué la diferencia entre el calor de reacción a presión constante y a volumen constante es igual a $RT$ ?
Primera parte: calor de reacción
De la primera ley de la termodinámica sabemos que
\begin{equation} \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W = \delta Q - p \mathrm{d} V \end{equation}
donde $U$ es la energía interior, $Q$ es el calor, $W$ es el trabajo, $p$ es la presión y $V$ es el volumen. Así, para una reacción a volumen constante se obtiene
\begin{equation} \mathrm{d}U = \mathrm{d} Q \ . \end{equation}
Ahora, para una reacción a presión constante se puede invocar la relación
\begin{align} \mathrm{d}H &= \mathrm{d}U + p \mathrm{d}V + V \mathrm{d}p \\ &= \delta Q - p \mathrm{d} V + p \mathrm{d}V + V \mathrm{d}p \\ &= \delta Q + V \mathrm{d}p \\ &\overset{\mathrm{d}p = 0}{=} \mathrm{d} Q \end{align}
donde $H$ es la entalpía. Así se obtienen las relaciones que describen el cambio en los calores liberados durante las reacciones a volumen y presión constantes. El llamado calor de reacción se define como
\begin{equation} \Delta Q = \biggl( \frac{\partial Q}{\partial \xi} \biggr) \end{equation}
donde $\xi$ es el alcance de la reacción.
Segunda parte: dependencia de la temperatura
Ahora usando el igualdad de los parciales mixtos y las definiciones de las capacidades caloríficas a presión constante $C_{p} = \Bigl( \frac{\partial H}{\partial T} \Bigr)_{p}$ y volumen constante $C_{V} = \Bigl( \frac{\partial U}{\partial T} \Bigr)_{V}$ que se obtiene para un volumen constante ( $\mathrm{d}U = \mathrm{d} Q$ ):
\begin{align} \biggl(\frac{\partial \Delta Q}{\partial T} \biggr)_{V} = \Biggl(\frac{\partial \Delta U}{\partial T} \Biggr)_{V} &= \left( \frac{ \Bigl( \frac{\partial U}{\partial \xi} \Bigr)_{T, V}}{\partial T} \right)_{V} = \Biggl( \frac{\partial^{2} U}{\partial \xi \partial T} \Biggr)_{V} \\ &= \Biggl( \frac{\partial^{2} U}{\partial T \partial \xi} \Biggr)_{V} = \left( \frac{ \Bigl( \frac{\partial U}{\partial T} \Bigr)_{V} }{\partial \xi} \right)_{T} = \Biggl(\frac{\partial C_{V}}{\partial \xi} \Biggr)_{T, V} = \Delta C_{V} \end{align}
y para una presión constante ( $\mathrm{d}H = \mathrm{d} Q$ ):
\begin{align} \biggl(\frac{\partial \Delta Q}{\partial T} \biggr)_{V} = \Biggl(\frac{\partial \Delta H}{\partial T} \Biggr)_{p} &= \left( \frac{ \Bigl( \frac{\partial H}{\partial \xi} \Bigr)_{T, p}}{\partial T} \right)_{p} = \Biggl( \frac{\partial^{2} H}{\partial \xi \partial T} \Biggr)_{p} \\ &= \Biggl( \frac{\partial^{2} H}{\partial T \partial \xi} \Biggr)_{p} = \left( \frac{ \Bigl( \frac{\partial H}{\partial T} \Bigr)_{p} }{\partial \xi} \right)_{T} = \Biggl(\frac{\partial C_{p}}{\partial \xi} \Biggr)_{T, p} = \Delta C_{p} \end{align}
donde $T$ es la temperatura y $\Delta C_{i}$ es el cambio en las capacidades caloríficas molares de los reactivos y los productos durante la reacción a constante $i$ (donde $i$ es $p$ o $V$ ):
\begin{align} \Delta C_{i} = \sum_{k} \nu_{k} c_{i_{k}} \end{align}
donde $\nu_{k}$ y $c_{i_{k}}$ son el coeficiente estoquiométrico y la capacidad calorífica molar a constante $i$ de la $k^{\text{th}}$ en la reacción, respectivamente.
Al integrar las ecuaciones para las dependencias de temperatura de los calores de reacción se obtiene:
\begin{align} \text{constant volume: } &\int \biggl(\frac{\partial \Delta Q}{\partial T} \biggr)_{V} \, \mathrm{d} T = \left( \Delta Q \right)_{V} = \int \Delta C_{V} \, \mathrm{d} T \\ \text{constant pressure: } &\int \biggl(\frac{\partial \Delta Q}{\partial T} \biggr)_{p} \, \mathrm{d} T = \left( \Delta Q \right)_{p} = \int \Delta C_{p} \, \mathrm{d} T \ . \end{align}
Así, la diferencia de los calores de reacción a volumen constante y presión constante sería:
\begin{align} \left( \Delta Q \right)_{p} - \left( \Delta Q \right)_{V} = \int \left( \Delta C_{p} - \Delta C_{V} \right) \, \mathrm{d} T \ . \end{align}
Tercera parte: gases ideales
Ahora, ¿por qué esto se reduce a $RT$ ? Esto funciona cuando se consideran reacciones en las que sólo intervienen gases ideales. Para los gases ideales se tiene (véase aquí ):
\begin{align} c_{p} - c_{V} = R \ . \end{align}
Por tanto, la integral se simplifica a
\begin{align} \int \left( \Delta C_{p} - \Delta C_{V} \right) \, \mathrm{d} T &= \int \sum_{j} \nu_{j} \bigl( \underbrace{ c_{p_{j}} - c_{V_{j}} }_{= \, R} \bigr) \, \mathrm{d} T \\ &= R \int \sum_{j} \nu_{j} \, \mathrm{d} T \\ &= R \sum_{j} \nu_{j} \int \mathrm{d} T \\ &= R T \sum_{j} \nu_{j} \end{align}
donde $\sum_{j} \nu_{j}$ será algún número racional pero no necesariamente igual a 1 - depende de la reacción. Éste es básicamente el resultado que buscabas, aunque la diferencia de calor de reacción sólo será proporcional a $RT$ siendo la constante de proporcionalidad $\sum_{j} \nu_{j}$ :
\begin{align} \left( \Delta Q \right)_{p} - \left( \Delta Q \right)_{V} = RT \sum_{j} \nu_{j} \ . \end{align}
