Una identidad de regularización dimensional

Question

Tenía una pregunta sobre una identidad de regularización dimensional. Una referencia o una derivación rápida sería muy apreciada. He consultado algunos libros de texto de QFT, pero no he encontrado el que buscaba.

Encontré en http://www.maths.tcd.ie/~cblair/notas/lista.pdf un resultado para $\int\frac{d^dp(p^2)^a}{(p^2+D)^b}$ (véase la ecuación 3.2 del enlace anterior). Quería algo que fuera $\int\frac{d^dp(p^2)^a}{(p^2+2pq+D)^b}$ es decir, el integrando tiene una potencia lineal de $p$ demasiado. Puede que una derivación de la ecuación anterior ayude. Pero de todos modos, algo de luz sobre $\int\frac{d^dp(p^2)^a}{(p^2+2pq+D)^b}$ o $\int\frac{d^dp(p_\mu p_\nu..p_\lambda)}{(p^2+2pq+D)^b}$ es lo que necesito. Gracias de antemano.

Answer 1

Las integrales más complicadas pueden reducirse fácilmente a la integral básica de la ecuación 3.2. Se empieza con modificaciones que simplifican el denominador. En primer lugar, $2pq$ en el denominador puede eliminarse completando el cuadrado: $$ p^2+2pq + D = (p+q)^2 + (D-q^2) $$ que tiene la misma forma que la integral original con $1/(p^{\prime 2}+D')^b$ siempre que $p'=p+q$ y $D'=D-q^2$ .

En segundo lugar, los polinomios $p^\alpha p^\beta\dots$ en el numerador - que ya se han reescrito en términos de la nueva variable $p$ para que el denominador sea $1/(p^2+D)^b$ - puede calcularse fácilmente porque la integral es un tensor, de modo que la integral con $2n$ copias de $p^\alpha$ en el numerador debe ser proporcional a $$g^{\alpha\beta} g^{\gamma\delta} \dots g^{\alpha_n\beta_n}+{\rm permutations} $$ veces la integral con $(p^2)^n$ sustituyendo el producto del $p^\alpha$ factores en los que el coeficiente global puede calcularse de forma sencilla comprobando la misma identidad con $n$ contracciones.