$\int \int x^4+y^4+z^4$

Question

U $$\iint\left(x^{4} + y^{4} + z^{4}\right)$$ sobre la esfera V de radio $a$ .

Así que escribí esto como $$a\iint_{\partial V} \Big(x^3 \hat{i}+y^3\hat{j}+y^3\hat{k}\Big).\Big(\frac{x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}}{a}\Big)=a\iiint_V div(x^3,y^3,z^3)=3a\iiint_Va^2=3a^3\frac{4\pi}{3}a^3=4\pi a^6$$ Pero mi respuesta no coincide. La clave de respuesta dice que debería ser $\frac{12 \pi a^6}{5}$

Answer 1

El vector normal $\mathrm{n}$ en el punto $(x,y,z)$ en una esfera viene dada por $\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ de ahí que quiera escribir $x^4+y^4+z^4$ como el producto punto $\mathrm{F}\cdot\mathrm{n}$ tienes que tomar $\mathrm{F}$ como $a(x^3+y^3+z^3)$ entonces $\text{div }\mathrm{F}=3a(x^2+y^2+z^2)$ y la integral original pasa a ser $$3a\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq a^2}(x^2+y^2+z^2)\,d\mu=3a\int_{0}^{a}4\pi\rho^2\cdot\rho^2\,d\rho=\frac{12\pi}{5}a^6$$ integrando a lo largo de las conchas.

Answer 2

Utilizando coordenadas esféricas se obtiene : $$\iiint_{B(0,a)} x^2 + y^2 + z^2 dx dy dz = \int_{r=0}^a \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^\pi r^2 \cdot(r^2 \sin(\theta))\ dr d\phi d\theta =$$ $$\int_{\phi=0}^{2\pi} d\phi \int_{\theta=0}^\pi \sin(\theta) d\theta \int_{r=0}^a r^4 dr = 2\pi \cdot 2 \cdot a^5/5$$ donde $(r^2 \sin(\theta))$ es el jacobiano y $B(0,a)$ es la esfera centrada en $0$ o radio $a$ .

EDITAR:

Este fue el error del OP, no detallo todos los pasos previos que hizo bien. Combinando la constante delante de su integral y este resultado da la respuesta correcta.