¿Existe alguna prueba probabilística del teorema de Pitágoras?

Question

Existen algunas pruebas del teorema de Pitágoras aquí . Tengo curiosidad por encontrar una prueba probabilística de este teorema elemental.

Answer 1

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$$\mathbb{E}[(X-Y)^2]=\mathbb{E}[X^2]+\mathbb{E}[Y^2]-2\mathbb{E}[XY]$$

Si $\mathbb{E}[XY]=\int_{\Omega}X(\omega)Y(\omega)d\mu=0$ (una especie de ortogonalidad) entonces $\mathbb{E}[(X-Y)^2]=\mathbb{E}[X^2]+\mathbb{E}[Y^2]$ configure $X-Y=Z$ obtienes $$\mathbb{E}[Z^2]=\mathbb{E}[X^2]+\mathbb{E}[Y^2]$$