Resuelve la siguiente ecuación para x :

Question

$$(x + 1)^{63} + (x + 1)^{62}(x1) + (x + 1)^{61}(x1)^{2} + . . .+(x1)^{63}= 0$$

Mi enfoque fue:

Es un GP con

$$r= \frac{(x-1)}{(x+1)}$$

Luego con la expresión:

$ ar$$n-1$$=(x-1)$$63$

Enchufando valor de r y a resulta a ello:

$n=64$

Introduciendo la fórmula de la suma de GP llego a esto:

$(x-1)$$64$ - $(x+1)$$64$ = $0$

Entonces, ¿qué debe hacerse? ¿Resolver para los 64 valores? ............

Answer 1

Tienes que resolver para $$\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggr)^{\!64}=1,\quad x\ne 1$$ Así que fija $u=\dfrac{x+1}{x-1}$ y resolver $\;u^{64}=1$ : $$u=\mathrm e^{\tfrac{ik\pi}{32}},\enspace\text{whence}\enspace x=\frac{u+1}{u-1}=-i\cot\frac{k\pi}{64}\quad (1\le k\le63).$$ La única solución real es $x=0$ y corresponde al caso $k=32$ .

Answer 2

Tenga en cuenta en primer lugar que $x=-1$ no es una solución. Esto le permite escribir la ecuación como:

$$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{64}=1.$$ Hay 64, 64 raíces de la unidad, dadas por $\zeta^k$ para $\zeta$ una raíz principal y $k=0,1,\dots,63$ .

Esto da

$$x_k=\frac{1+\zeta^k}{1-\zeta^k}.$$

Puede que le preocupe que $x_k$ podría ser real aunque $\zeta^k$ no lo es.

Es un ejercicio para demostrar que esto no puede suceder (supongamos que $(1+z)/(1-z)\in \mathbb{R}$ y demostrar que $z\in \mathbb{R}$ ).

Por lo tanto $\zeta^k=\pm 1$ .

Claramente $\zeta_k=1$ no funciona y por lo tanto debemos tener $\zeta^k=-1$ y así $x=0$ .

Answer 3

Obsérvese que tenemos $$(x+1)^{64}=(x-1)^{64}$$ De la progresión geométrica.

Sin embargo, tenga en cuenta que como $t^{64}$ es una función creciente si $t>0$ pero disminuye si $t<0$ tenemos que $$(x+1)^{64}=(x-1)^{64} \iff (x+1)= \pm (x-1)$$ Así que $x=0$ como $x-1 \neq x+1$ .

Answer 4

Ofrece $x-1=-(x+1)$ y $x=0$ o $x-1=x+1$ lo cual es imposible.