Incremento del punto de equilibrio del sistema dinámico

Question

Estoy leyendo la teoría de sistemas dinámicos y hay un ejemplo de un sistema Masa-Muelle. Las ecuaciones de estado vienen dadas por

$\displaystyle \frac{d x_1}{dx}(t) = x_2(t)$

$\displaystyle \frac{d x_2}{dx}(t) = \frac{-k}{m}x_1(t)+\frac{f(t)}{m}$

Entonces encontramos el punto de equilibrio fijando

$\displaystyle 0 = x_2(t)$

$\displaystyle 0 = \frac{-k}{m}x_1(t)+\frac{f(t)}{m}$

Lo que da como resultado

$x_{eq} = \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} f/k \\ 0 \\ \end{array} \right]$

Por último, el libro define el incremento con respecto al punto de equilibrio $\Delta x(t) = x(t) - x_{eq}$ . Restrayendo las ecuaciones (1,3) y (2,4) el resultado es

$\displaystyle \frac{d \Delta x_1}{dx}(t) = \Delta x_2(t)$

$\displaystyle \frac{d \Delta x_2}{dx}(t) = \frac{-k}{m}\Delta x_1(t)$

Hasta aquí todo bien, pero para el siguiente paso obtienen "la solución general, parametrizada por el estado inicial" como

$\displaystyle \Delta x_1(t) = \Delta x_1(0) cos(\omega t) + \frac{\Delta x_2(0)}{\omega} sin(\omega t)$

$\displaystyle \Delta x_2(t) = -\Delta x_1(0) \omega sin(\omega t) + \Delta x_2(0)cos(\omega t)$

Este resultado no entiendo de dónde viene, ¿alguien podría darme una pista?

Answer 1

Esto es un asunto de ODE, la solución de : \begin{eqnarray*} \frac{dx_1}{dt} &=& x_2\\ \frac{dx_2}{dt} &=& -\frac{k}{m} x_1 \end{eqnarray*} es de la forma que has escrito. Que $\omega^2 = \frac{k}{m}$ para simplificar.

Una forma de demostrarlo es diferenciar la primera ecuación y sustituirla por la segunda: $$\frac{d^2x_1}{dt^2} = \frac{dx_2}{dt} = -\omega^2 x_1$$

Así que la solución para $x_1$ es de la forma : $$x_1(t) = A_1\cos(\sqrt{\omega}t) + A_2\sin(\sqrt{\omega}t)$$

Diferéncielo para encontrar la solución a $x_2(t)$ .

Sustituyendo las condiciones iniciales se obtiene $A_1 = x_1(0)$ y $A_2 = \frac{x_2(0)}{\omega}$ .