¿Existen familias de líneas arbitrariamente grandes en $\Bbb R^3$ con ángulo medio $\ge \pi/3$ ?

Question

Pregunta: ¿Puedo tener una familia finita de líneas arbitrariamente grande $\ell_1,\dotsc,\ell_n\subset\Bbb R^3$ de modo que el ángulo medio entre dos líneas (distintas) es $\ge \pi/3$ ?

Podemos suponer que todas las rectas pasan por el origen, y por ángulo entiendo el menor de los dos ángulos definidos por dos rectas que se cruzan.

Si mi cálculo integral no me ha fallado, entonces el ángulo esperado entre dos líneas aleatorias con direcciones uniformemente elegidas es exactamente $1\, \mathrm{rad}$ mientras que $\pi/3\approx 1.0472 >1$ . Así que los arreglos genéricos no servirán. ¿Puedo ser más ingenioso? ¿O acaso hay algún argumento estándar de la teoría de la medida que me diga que, en el límite, lo mejor que puedo hacer son líneas elegidas uniformemente? Si es así, ¿podemos poner un límite a $n$ para cuando esto deje de ser posible?

Sé por experimentos aleatorios que $n=17$ es posible, pero ya para $n=18$ Hasta ahora no tengo ejemplos.

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Actualización

En comentario por alesia responde a la pregunta planteada (y estoy deseando aceptar su responder ): existen familias arbitrariamente grandes de líneas con ángulo medio $> \pi/3$ . Aunque hay que tener en cuenta que el límite $\pi/3$ sigue pareciendo algo sustancial: cuantas más líneas tenga, más se acercará la media a $\pi/3$ . No voy a cambiar la pregunta (puede que publique otra), pero la siguiente parece ser la pregunta más fundamental:

¿Existe una distribución de probabilidad en las líneas de $\Bbb R^3$ de modo que el valor esperado para el ángulo entre dos líneas (muestreadas independientemente) es $>\pi/3$ ?

Creo que No y espero ideas. El valor $\pi/3$ se alcanza mediante la construcción de alesia (uniformemente uniformemente las direcciones de una base ortogonal).

Answer 1

Comience con $n$ veces cada eje de coordenadas, por lo que $3n$ líneas en total. El ángulo medio entre líneas no necesariamente distintas es $1/3*0 + 2/3*\pi/2 = \pi/3$ . Así pues, el ángulo medio entre líneas "distintas" (aquí, las líneas distintas pueden coincidir geométricamente debido a las multiplicidades) es mayor que $\pi/3$ .

A continuación, puede perturbar las líneas para hacerlas geométricamente distintas, manteniendo un ángulo medio mayor que $\pi/3$ .

Aunque esa no es la cuestión, no estoy seguro de qué ocurre si uno quiere un número infinito de líneas.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario y por favor, compruebe mis argumentos . Creo que puede haber lagunas. Esto es sin embargo en el espíritu de @DavidESpeyer's comentario :

Dada la matriz de Gram formada por los productos interiores de $M$ vectores (de valor real o complejo) de dimensión $n,$ $$ G=[\langle x_i,x_j\rangle]_{M\times M} $$ el límite de Welch (véase Wikipedia ) puede escribirse como $$ \sum_{1\leq i,j\leq M} \lvert\langle x_i,x_j\rangle\rvert^2 \geq \frac{\mathbb{tr}(G)^2}{n} $$ que se convierte en $$ \sum_{i} \langle x_i,x_i \rangle^2+ \sum_{i\neq j} \lvert\langle x_i, x_j \rangle\rvert^2 \geq \frac{(\sum_{i} \langle x_i, x_i \rangle)^2}{n}. $$ Ten en cuenta que podemos considerar vectores unitarios distintos de cero, y que un vector y su opuesto representan la misma recta. Continuamos: $$ M(1)^2+\sum_{i\neq j} \lvert\langle x_i, x_j \rangle\rvert^2 \geq \frac{M^2}{n}, $$ o $$ \sum_{i\neq j} \lvert\langle x_i, x_j \rangle\rvert^2 \geq \frac{M(M-1)}{n}, $$ que dividido por el número de pares de vectores ( $M(M-1)$ ) da $$ \mathbb{E}\{\lvert\langle x_i,x_j\rangle\rvert^2\} \geq \frac{M(M-1)}{M(M-1)}=\frac{1}{n}=\frac{1}{3}, $$ ya que tenemos $n=3$ estando en un espacio real de 3 dimensiones. Esto da $$ \cos^2(\theta)\geq \frac{1}{3} $$ para el ángulo mínimo, o $\theta\geq 54.735\cdots$ grados algo menos de un radián.

Ahora bien, como todos estos ángulos son iguales, parecería que una perturbación de una línea en esta disposición realmente aumentar el ángulo medio. Asumiendo esto, el argumento anterior es independiente de $M$ no ha conseguido descartar un conjunto arbitrariamente grande de líneas con este valor. Pero para todos los ángulos por debajo de este valor, parece que no se puede tener una disposición de ángulos iguales.

Independientemente, acabo de descubrir (wikipedia de nuevo) que hay límites superiores al número máximo de líneas equiangulares de $\binom{n+1}{2}$ en $n$ -dimensional del espacio euclidiano, lo que da 6 líneas para este caso pero 12 si además tomamos el opuesto de cada línea. Esto podría significar que si el argumento de la perturbación anterior puede hacerse riguroso, entonces los vectores que apuntan a los centros de las 12 caras de un icosaedro regular pueden ser los mejores posibles para el ángulo correspondiente a esos vectores.