Tengo que calcular el límite $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $
En realidad tengo una forma de solución, pero esta debe ser una respuesta de 60 segundos o menos (de un examen con muchas más preguntas)
Así que me pregunto si hay una manera más fácil o tendré que pensar más rápido.
Esto es lo que intenté:
para $ x\to \infty $ también $ t\to\infty $ y $ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $ así que podemos tomar la expansión taylor de $ cos $ en torno a $ 0 $ :
$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $ así:
$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $
y también $ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $ así
$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $
ahora:
$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $
Y $ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $
Así $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $
Me ha llevado bastante tiempo pensarlo, si hay alguna forma más fácil/consejos o trucos para hacerlo más fácilmente, sería de gran ayuda.
Gracias de antemano
